Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве (стр. 2 из 2)

Если же Tx параллельна гиперплоскости из класса A2, то

и , что также противоречит выбору Tx. Значит Tx параллельна некоторой гиперплоскости из класса A1. Итак, пусть - эта та самая гиперплоскость, о которой идет речь выше, то есть Te параллельна гиперплоскости Tv из класса A1 и разбивает An на два полупространства и такие, что , . Очевидно, что в этом случае найдется гиперплоскость Ty0, параллельная Te, такая, что и множество - компактно. Если теперь точка , то . Поскольку и порядок - гранично однородный, то для любой точки будет верно следующее:

Действительно, вследствие граничной однородности порядка

для любых точек найдется такой, что f(p0) = q0 и, значит, f(D)-p0 = D-f(p0) = D-q0. Но , поэтому и, следовательно, .

Покажем теперь, что наш порядок

будет максимально линейчатым, то есть для любой точки имеем . Предположим, что это не так и найдется точка такая, что луч не лежит полностью в Qe, то есть .

Если

, то есть луч l+x0, за исключением точки x0 лежит вне Qe, поступим следующим образом: Пусть , точка, которая вместе с некоторым шаром с центром в точке v0 положительного радиуса лежит в . Точка , значит найдется такое, что шар имеет непустое пересечение с int Q. Выберем точку . Нетрудно видеть, что для прямой lm, проходящей через точку m и параллельной лучу l+x0 число точек пересечения с уже наверняка больше двух: первая точка лежит на отрезке [m1, m), где , вторая точка лежит на отрезке (m, m2), где , так как , , . В этом случае в качестве точки x0 возьмем любую точку из множества .

Пусть точка

. Тогда по доказанному выше (см. ( )), но, поскольку , множество содержат, кроме точки w0 еще и точку x0, что, очевидно, противоречит ( ). Значит порядок - максимально линейчатый и в соответствии с результатами Э.Б.Винберга [2] и А.К.Гуца [3] любой порядковый -автоморфизм будет аффинным преобразованием.

Теорема доказана.

Следствие. Пусть

, n>2, - несвязный порядок в An, о котором идет речь в теореме и, кроме того, семейство внешних конусов порядка является семейством равных и параллельных эллиптических конусов.

Тогда любой порядковый

-автоморфизм будет преобразованием Лоренца.

Список литературы

Гуц А.К. Аксиоматическая теория относительности // Успехи мат. наук. 1982. Т. 37. N 2. C. 39-79.

Винберг Э.Б. Строение группы автоморфизмов однородного выпуклого конуса // Труды ММО. 1965. Т.13. С.56-83.

Гуц А.К. Порядковые и пространственно-временные структуры на однородных многообразиях : Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск: Ин-т мат. СО РАН, 1987. 203 с.