Экстремумы функций многих переменных (стр. 1 из 3)

Министерство общего и высшего образования Российской Федерации

Иркутский Государственный Технический Университет

Кафедра ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Реферат

На тему: “Экстремумы функций многих переменных”

Выполнил:

Студент группы ТЭ-97-1

Мартынов Ф.О.

Проверила:

Преподаватель кафедры

Седых Е.И.

Иркутск 1998
План реферата:

1. Понятие экстремума........................... 2

2. Необходимые условия экстремума.. 3

3. Достаточные условия экстремума... 6

4. Локальные экстремумы.................... 8

5. Условные экстремумы...................... 9

Экстремумы функций многих переменных.

Для начала рассмотрим необходимые условия экстремума функции, также определим понятие экстремума.Начнем с понятия экстремума:

Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными

Определение: Точка

называется точкой экстремума (максимума или минимума)

функции

, если

есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции

в некоторой окрестности точки

.

При этом значение

называетсяэкстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция

имеет в точке

экстремум (или достигает в точке

экстремума).

Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку. Вид поверхностей, изображающих поверхности функций в окрестности точек экстремума показан на рис. 1.

Теперь установим необходимые условия, при которых функция

достигает в точке

экстремума; для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции.

Необходимый признак экстремума: Если в точке

дифференцируемая функция

имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны

нулю:

,

.

Доказательство: Допустим, что функция

имеет в точке

экстремум.

Согласно определению экстремума функция

при постоянном

, как функция одного

достигает экстремума при

. Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции

при

,

т. е.

.

Аналогично функция

при постоянном

, как функция одного

, достигает экстремума при

. Значит,

Что и требовалось доказать.

Точка

, координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции

, называется стационарной точкой функции

.

Уравнение касательной плоскости к поверхности

:

для стационарной точки

принимает вид

.

Следовательно, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией

экстремума в точке

геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности - графику функции в соответствующей ее точке параллельна плоскости независимых переменных.

Для отыскания стационарных точек функции

нужно приравнять нулю обе ее частные производные

,

. (*)

и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Пример 1: Найдем стационарные точки функции

Система уравнений (*) имеет вид:

Из второго уравнения следует, что или

, или

.

Подставляя по очереди эти значения в первое уравнение, найдем четыре стационарные точки:

Какие из найденных точек действительно являются точками экстремума, мы установим после приведения достаточного условия экстремума.

Иногда удается, и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непосредственно следует, что рассматриваемая функция имеет где- то максимум или минимум и пи этом системе уравнений (*) удовлетворяет только одна точка (т. е. Одна пара значений x и y), то ясно, что эта пара и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции двух переменных могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуют острия поверхности - графика функции).

Так, например, функция

имеет, очевидно, в начале координат минимум, равный нулю, но в этой точке функция недифференцируема; график этой функции есть круглый конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью

.

Следовательно, если иметь в виду не только дифференцируемые, но и вообще непрерывные функции, то нужно сказать, что точками экстремума могут быть стационарные точки и точки, в которых функция недифференцируема.

Вполне аналогично определяется понятие экстремума функции любого числа независимых переменных.

и устанавливаются необходимые условия экстремума. Именно: Дифференцируемая функция n переменных может иметь экстремумы только при тех значениях x, y, z,..., t, при которых равны нулю все ее n частных производных первого порядка:

Эти равенства образуют систему n уравнений с n неизвестными.

Теперь определим достаточные условия для экстремума функции двух переменных. Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что эта точка обязательно является точкой экстремума. Возьмем функцию

Ее частные производные равны нулю в начале координат,