Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду (стр. 1 из 2)

Выполнил: ученик 11 Б класса Назаркин Павел Дмитриевич

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей №43»

Саранск, 2004

Постановка задачи.

Произвести необходимые расчеты для нахождения минимальной скорости тела, брошенного через прямоугольное препятствие.

Методы выполнения работы.

Для выполнения данной работы проделаем ряд математических вычислений и преобразований с использованием физических формул.

Зная, что траекторией движения тела, является парабола, а также математическую формулу записи данной линии, будем использовать уравнение параболы общего вида в качестве начальных данных поставленной задачи. В выбранной нами прямоугольной системе координат запишем данное уравнение для двух точек, принадлежащих линии движения – начальной точке А и точке В, в которой тело окажется через некоторый промежуток времени t. Решая систему полученных при этом уравнений, путем математических замен и преобразований выведем формулу зависимости движения тела от одной переменной L, т.е. коэффициенты k и b, участвующие в общем виде уравнения параболы, выразим через L. Затем, используя физический закон движения тела, брошенного под углом к горизонту, выразим переменную L через

и V . В результате получим уравнение движения, в качестве коэффициентов в котором будут выступать переменные

и V. Затем составим систему двух уравнений, полученных подстановкой координат точек А и В в последнее уравнение движения. Решая данную систему, мы найдем неизвестные нам величины

и V, выразив их через имеющиеся известные нам параметры – ширину и высоту прямоугольного препятствия. Для нахождения Vmin воспользуемся производной функции.

Решение.

Уравнением линии движения тела, брошенного через прямоугольное препятствие, в общем виде является уравнение параболы :

y=-kx2+b

Введем прямоугольную систему координат и свяжем ее с прямоугольным препятствием, как показано на рисунке.

В данной системе координат уравнение движения тела в точках А и Б примет вид:

0=-k(a+L)2+b,

h=-ka2+b.

Выразим k и b через одну неизвестную L:

Вычитаем 1)-ое из 2)-ого:

h=k(a2+2aL+L2-a2),

h=k(2aL+L2) ,

(*);

h=b-ka2+b b=h+ka2

. (*)

Получилось, что уравнение движения зависит только от L:

y=-kx2+b, где коэффициенты k и b имеют вид (*).

Найдем зависимость L от

и V.

Из курса физики известно: что движение тела, брошенного под углом горизонта описывается уравнениями

x=Vxt L=Vxt L=Vcos

y=Vyt+gt2/2 h=Vyt-gy t2/2 gt2-2Vyt+2h=0.

gt2-2Vyt+2h=0.

Мы рассматриваем время движения от точки А до Б, значит

, где Vy=Vsin

Итак,

Умножив обе части уравнения на g, получим:

(1)

Известно, что

т.е.

(2)

С другой стороны tg

=y’ в точке А, т.е. tg

=y’(-a-L);

Подставив значение tg

в (2), получим:

V2sin2

=g(a+L) tg

V2sin

cos

=g(a+L) Lg=V2sin

cos

-ga (3)

Сравнив (1) и (3) получаем, что:

Получили уравнение с двумя неизвестными V и

: выразив V через

, мы получим ту самую функцию, которую мы должны были найти:

Пусть z=V2, тогда z cos2

(z sin2

-2gh)=g2a2;

z2 cos2

sin2

- z cos2

2gh-g2a2=0;

Получили квадратное уравнение относительно z

Очевидно,

значит, т.к. z=V2>0, то

Вместо зависимости V от

рассмотрим зависимость z от

, и обозначив

получим зависимость z от t.

Получим

, где z=V2,

Выразим

через t, если

;

Значит,

Т.е.

Таким образом, чтобы найти Vmin и

, нам нужно во-первых, найти fmin и t.

Умножив обе части уравнения на

, получим

Прежде чем возвести обе части в квадрат, сделаем предварительный анализ получившегося уравнения: т.к.

то и

т.е.

Умножив обе части уравнения на (t-1)2, получим