Комплексный анализ (стр. 2 из 2)
Нулем аналитической функции называется точка из ее области определения функции, в которой функция принимает нулевое значение.
Теорема. Функция f(z) с нулем в точке а, отличная от нуля в ее окрестности, представима в виде произведения функции j(z), голоморфной в а и отличной от нуля в ее окрестности, на линейное приращение аргумента этой функции. То есть f(z)=(z-a)j(z).
Теорема Единственности. Две функции f1 и f2, совпадающие на подмножестве области определения D, имеющем хотя бы одну предельную точку, совпадают всюду на D, то есть f1 = f2.
Рядом Лорана функции f называется функциональный ряд, с коэффициентами
, где r<r<R.Теорема Лорана. Функцию f , голоморфную кольце V={r<|z-a|<R} можно представить как сумму ряда Лорана
Лемма Шварца. Функция ¦, однозначная и аналитическая в единичном круге, для которой справедливы условия ¦(0)=0 |f(z)|£1 (|z|<1), удовлетворяет условиям |f’(0)|£1, |f(z)|£|z| (|z|<1), при этом равенство достигается только для линейных функций вида eiaz, aÎR.
Теорема Гурвица.
Пусть функции ¦, не равна тождественно нулю внутри некоторой области.
И пусть задана последовательность функций ¦n, равномерно сходится внутри ее к ¦.
Пусть g - замкнутая спрямляемая кривая, принадлежащая этой области со своей внутренностью, не проходящая через нули ¦.
Тогда можно указать такое число v,= v(g), что при n>v каждая из ¦n будет иметь внутри g одно и тоже число нулей, равное числу нулей функции ¦ внутри этой кривой.
Особой точкой функции f называется точка с заданными св-вами.
Изолированной особой точкой функции f называется такая точка а, что существует проколотая окрестность (или полуинтервал |z|<¥)этой точки, где функция голоморфна.
Устранимой называется такая особая точка, что существует
.Полюсом называется такая особая точка, что
.Существенно особой точкой называется такая особая точка, что ¦ не имеет вообще предела при z®a.