Как следствие из теоремы о сумме углов треугольника доказывается, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
По ходу изложения материала учащимся следует задать вопросы и простые задачи, содействующие лучшему усвоению нового материала. Например,
1. Какие прямые называются параллельными?
2. При каком положении секущей равны все углы, образуемые двумя параллельными прямыми и этой секущей?
3. Прямая, проведенная в треугольнике параллельно основанию, отсекает от него малый треугольник. Доказать, что отсекаемый треугольник и данный равноугольны.
4. Вычислить все углы, образуемые двумя параллельными и секущей, если известно, что один из углов равен 72 градуса.
5. Внутренние односторонние углы соответственно равны 540 и 1230. На сколько градусов надо повернуть одну из прямых вокруг точки ее пересечения с секущей, чтобы прямые были параллельны?
6. Доказать, что биссектрисы: а) двух равных, но не противоположных углов, образуемых двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны, б) двух неравных углов при тех же прямых и секущей – перпендикулярны.
7. Даны две параллельные прямые АВ и CD и секущая EF, пересекающая данные прямые в точках K и L. Проведенные биссектрисы KM и KN углов AKL и BKL отсекают на прямой CD отрезок MN. Найти длину MN, если известно, что отрезок KL секущей, заключенный между параллельными, равен а. Ответ: 2а
8. Каков вид треугольника, в котором: а) сумма двух любых углов больше d, б) сумма двух углов равна d, в) сумма двух углов меньше d?
Ответ: а) остроугольный, б) прямоугольный, в) тупоугольный.
9. Во сколько раз сумма внешних углов треугольника больше суммы внутренних его углов? Ответ: в 2 раза.
10. Могут ли все внешние угля треугольника быть: а) острыми, б) тупыми, в) прямыми? Ответ: а) нет, б) да, в) нет.
11. В каком треугольнике каждый внешний угол вдвое больше каждого из внутренних углов? Ответ: равносторонний.
Раздел 2. Проведение практических уроков по теме «Параллельность прямых и использование признаков параллельности при решении геометрических задач»
2.1. Сумма углов треугольника.
Цель: систематизировать сведения о треугольниках, доказать исследовательским путем теорему о сумме углов треугольника, сформировать привычки нахождения разных способов доказательства этой теоремы, показать применение приобретенных знаний в практической деятельности, развивать умение анализировать, строить заключения, работать творчески.
И. Актуализация опорных знаний.
Актуализация теоретического материала проводится в форме гейма “Дальше, дальше...” игры “Счастливый случай”. За одну минуту нужно дать максимальное количество правильных ответов.
Вопрос для первой команды
1. Фигура, которая состоит из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, которые попарно соединяют эти точки, называется .....
(Треугольник)
2. Раздел геометрии, в котором изучают фигуры на плоскости, называется .....
(Планиметрия)
3. Угол, больший 900 и меньше 1800, называется .....
(Тупой угол)
4. Свойство вертикальных углов...
(Равны)
5. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, которая содержит противоположную сторону треугольника, называется ......
(Высота треугольника)
6. В равнобедренном треугольнике углы при основании ......
(Равны)
7. Треугольник, один из углов которого прямой, называется .......
(Прямоугольным)
8. Если две параллельные прямые пересеченные третьей, то внутренние разносторонние углы ........
(Равны)
9. Утверждение, которое принимается без доказательства, называется ......
(Аксиома)
Вопрос для второй команды
1. Угол, меньше, чем 900, называется ......
(Острым углом)
2. Основными геометрическими фигурами на плоскости являются ......
(прямая, отрезок, окружность)
3. Если сторона угла является перпендикуляром к полупрямой, то угол
называется ........
( Прямый углом )
4. Сумма смежных углов равняется .....
(180 градусов)
5. Если две стороны треугольника равны, то он называется ......
(Равнобедренным)
6. Отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется ......
(Медианой)
7. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основе , является .......
(Высотой)
8. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние разносторонние углы равны, то прямые .....
(Параллельны)
9.Теорема, у которой условие является выводом, а вывод является условием, называется ........
(Лемма)
Вопрос для третьей команды
1. Развернутый угол равняется .......
(180 градусам)
2. “Геометрия” в переводе на украинский язык означает ........
(Наука об измерении земли )
3. Угол, который равняется 900, называется ........
(Прямым)
4. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются .......
(Параллельными)
5. Луч, который выходит из вершины угла и делит угол пополам, называется ......
(Биссектриссой)
6. Если в треугольнике два угла равны, то он .....
(Равнобедренный)
7. Треугольник, у которого все стороны равны, называется ......
(Равностронний)
8. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равняется 1800, то прямые ......
(Параллельны)
9. Утверждение, которые требует доказательства, называется ......
(Теоремой)
ІІ. Мотивация учебной деятельности.
Вы только начали изучать геометрию, но уже знаете названия элементов треугольников и их виды, а также признаки равенства треугольников.
Треугольник играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся геометрия со времен “Начал” Евклида базируется на “трех китах” – трех признаках равенства треугольников. За несколько тысячелетий геометры так детально выучили треугольник, что порой говорят о “геометрии треугольника” как о самостоятельном разделе элементарной геометрии. Среди всех метрических свойств треугольника, которые изучаются в 7-м классе, важнейшим есть свойство суммы углов треугольника.
ІІІ. Изучение нового материала.
В тетрадях нарисуйте произвольный треугольник. Далее, с помощью транспортира измерьте градусные меры углов треугольника и найдите их сумму.
Как вы думаете, случайно ли сумма углов треугольника оказалась близкой к 1800?
Свойство суммы углов треугольника характерно тем, что оно совсем не очевидно. Вдобавок, треугольники могут быть разнообразнейшими – от маленьких, какие мы строим в тетрадях, до исполинских, которые можно построить на поверхности Земли или вообразить, соединив отрезками три звезды на небе. Для всех этих треугольников справедливо одно и то же равенство. Докажем теорему о сумме углов треугольника.
Теорема. Сумма углов треугольника равняется 1800.
Учитель доказывает на доске теорему. Ученики записывают теорему в свои тетради.
IV. Применение теоремы к решению задач.
1. Найдите третий угол треугольника АВС, используя данные таблицы:
| ÐА | 130 | 30 | ? |
| ÐВ | 30 | ? | 45 |
| ÐС | ? | 50 | 90 |
2. Решите задачи 19(1), 22(1), 23(1), 20(1) из параграфа 4 учебника (Погорелов О.В. Геометрия: Планиметрия. Учебник для 7-9 кл. серед. шк. – К.,Образование, 1997).
3. Если один из углов треугольника тупой, то какими должны быть два другие его угла?
А правильно ли обратное утверждение?
4. Решите задачи самостоятельно.
Задача 1. Дан: DАВС, ÐС=700, Ам-биссектриса, ÐМАСС=400. Найти ÐВАС, Ð(АВС.
Задача 2. Дан: DАВС, AD=DB=DC. Доказать: ÐАВС=900.
5. Как определить градусную меру угла, часть которого вместе с вершиной вытерли?
6. Какое наименьшее количество углов треугольника нужно задать, чтобы определить остаток углов в случае, если треугольник:
а) произвольный; б) прямоугольный; в) равнобедренный; г) равносторонний;
д.) прямоугольный равнобедренный?
V. Практическое применение знаний.
Свойство углов прямоугольного равнобедренного треугольника знал еще один из первых творцов геометрической науки древнегреческий ученый Фалес. Используя ее, он измерял высоту египетской пирамиды по длине ее тени. По легенде, Фалес выбрал день и время, когда длина его собственной тени равнялось его росту, поскольку в этот момент высота пирамиды также должна равняться длине тени, которую она отбрасывает. Конечно, длину тени нужно было вычислить от средней точки квадратной основы пирамиды, но ширину основы Фалес мог измерять непосредственно. Таким образом можно измерять высоту любого дерева.
VI. Итог урока.
Сегодня на уроке мы доказали исследовательским путем теорему о сумме углов треугольника, научились применять приобретенные знания в практической деятельности. Мы еще раз убедились, что геометрия это наука, которая возникла из потребностей человека. Ведь, как писал Галиллей : “Природа разговаривает языком математики: буквы этого языка – окружности, треугольники и прочие математические фигуры».
V. Домашняя задача.
Прочитать пункт 33, решить задачи 19(2), 22(2), 26 из параграфа 4 учебника.
2.2. УРОК 2
Тема. Признаки параллельности прямых (Часть 1).
Цель: ввести понятия секущей, внутренних односторонних углов, внутренних разносторонних углов, доказать теоремы 4.1, 4.2, сформулировать теорему 4.3 (без доказательства) (Погорелов О.В. Геометрия: Планиметрия. Учебник для 7-9 кл. сред. шк. – К.,Освіта, 1997).
ХОД УРОКА
І. Изучение нового материала.
Если новый материал вмещает много информации, достаточно сложной для восприятия, то начинают урок с нового материала. Учитель на доске вводит новые понятия такие как секущая, внутренние односторонние углы, внутренние разносторонние углы, доказывает теоремы 4.1, 4.2 и формулирует теорему 4.3 (без доказательства). Учащиеся делают опорный конспект в тетрадях.