Математическое моделирование полета лыжника при прыжке с трамплина (стр. 4 из 4)

4.3. Численное решение

Задача решалась методом Галеркина в терминах скорость-давление. Метод конечных элементов был использован, так как он позволяет более точно, чем метод сеток, аппроксимировать границы области. Задача решалась в естественных переменных для простоты удовлетворения граничным условиям. Для решения задачи была составлена программа, основными частями которой были разбиение области на конечные элементы, составление и решение системы уравнений. Система уравнений имеет ленточный вид, что позволило значительно увеличить количество конечных элементов. В программе была использована линейная аппроксимация скоростей и кусочно-постоянная аппроксимация давления. Дело в том, что в [7] показано, что наибольшая точность и устойчивость метода конечных элементов для подобных задач достигается, если аппроксимация скоростей на порядок выше аппроксимации давлений. Для давлений использовались четырехугольные конечные элементы, делившиеся для скоростей на два треугольных.

Рис. 8. Конечноэлементная сетка, использовавшаяся при решении задачи

(показаны только четырехугольные элементы).

Задача решалась при различных граничных условиях, что позволило выяснить, как влияет на расчет заданный перепад давлений или заданная входная скорость. Оказалось, что задав силовое граничное условие - перепад давлений - получаем такие скорости, что если задать их в качестве кинематических граничных условий, получается тот же перепад давлений, что и в первой задаче.

На рис. 9 приведено поле скоростей ветра около трамплинной горы при перепаде давлений между входным и выходным сечениями расчетной области 2

10-6 мм рт. ст. (около 4 10-4 Па). Скорость ветра на верхней границе составила примерно 11 м/с, а на высоте, где обычно летают лыжники - около 5 м/с, что вполне согласуется с приведенными выше опытными данными. Видно, что во входном и в выходном участках области скорость ветра строго горизонтальна, а в районе горы имеет вертикальную составляющую, так как воздушный поток огибает гору.

Рис.9. Поле скоростей ветра в окрестностях горы.

5. Расчет полета лыжника

Задача Коши (7),(8),(14),(15) решалась методом Гаусса решения систем дифференциальных уравнений.

Траекторию при заданных уравнениях движения и заданной геометрии трамплина определяют три "входных" параметра: начальная скорость

, поддерживаемый в полете угол между лыжами и горизонталью и предельная скорость . После решения задачи Коши мы можем определить два "выходных" параметра задачи - нормальную к склону составляющую посадочной скорости и дальность .

Далее для краткости

будем называть просто скоростью приземления.

Исследовалась сходимость решения по интегральной и максимальной норме. Кроме этого проводилось еще две проверки, имеющих более простой и наглядный смысл. Их результаты здесь и приведены. Сравнение получающихся дальностей и скоростей приземления показало, что при заданном шаге по времени

с дальность отличается по сравнению с решением с точностью с на величину порядка м, то есть у решений с шагами 0.001 с и 0.0001 с отличие в дальности имеет порядок нескольких миллиметров - в пределах одного сантиметра, т.е. 0.01 м. Численно отличие между скоростями приземления меньше в 2-3 раза, чем между дальностями. Так как точности выше 1 см и 1 см/с нам не нужны, все дальнейшие расчеты проводились с шагом по времени 0.001 с. Второй проверкой была такая: при отключении условия окончания вычислений по прошествии достаточно большого времени скорость падения становилась постоянной и равной предельной скорости. Оказалось, что значения выходных параметров достаточно жестко определяют, какими могут быть входные параметры. Это обусловлено не только узостью интервала допустимых скоростей приземления и длиной участка склона приземления, но и узостью интервалов изменения входных параметров. Вычислительный эксперимент проводился на параметрах нижне-тагильского трамплина. Входные параметры должны удовлетворять следующим условиям:

м/с

м/с

На рис.10 показаны траектории полета прыгуна при

, фиксированной предельной скорости и слегка отличающихся начальных скоростях. Видно, что с ростом скорости вылета возрастает дальность полета, но приземление при этом становится более жестким из-за роста нормальной скорости приземления.

На рис. 11, 12 показаны зависимости дальности полета лыжника и нормальной составляющей скорости приземления от скорости вылета при различных значениях предельной скорости. Из этих рисунков видно, что чем больше дальность полета, тем более жестким будет приземление. При уменьшении предельной скорости для достижения той же дальности нужна меньшая начальная скорость, то есть преимущество получают прыгуны, имеющие большую "парусность".

Рис.10. Траектории полета лыжника при различных скоростях вылета

Рис.11. Зависимость дальности полета от начальной скорости при различных предельных скоростях.

Рис.12. Зависимость нормальной к склону составляющей скорости приземления от начальной скорости при различных предельных скоростях.

На основании проведенных расчетов для различных величин угла наклона лыж к горизонту

определены интервалы допустимых значений скорости вылета и предельной скорости, обеспечивающие приземление на требуемом участке склона горы с приемлемой скоростью. Из рис.13-14 видно, что угол наклона лыж к коризонту 20° предпочтительнее, чем угол 30°, так как при нем можно стартовать с меньшими скоростями и с меньшим риском. Таким образом, наилучшие прыжки получаются при как можно больших начальных скоростях (разумеется, в пределах допустимой области) и как можно меньших предельных скоростях и углах .

Рис.13. Допустимая зона изменения предельной и начальной скоростей при фиксированном угле наклона лыж к горизонту

Рис.14. Допустимая зона изменения предельной и начальной скоростей при фиксированном угле наклона лыж к горизонту

.

Приведенные выше результаты были получены в предположении об отсутствии ветра. При учете ветра оказалось, что уже при скоростях порядка 1 м/с при встречном ветре лыжник имеет большой шанс недолететь до участка приземления, а при попутном - перелететь через него. Очевидно поэтому соревнования по прыжкам с трамплина при ветре не проводятся.

6. Заключение

Построена математическая модель прыжка с трамплина, учитывающая все основные факторы, влияющие на полет лыжника, включая ветер вблизи трамплинной горы и зависимость аэродинамических коэффициентов от угла атаки.

Определена область изменения параметров прыжка, обеспечивающая безопасное приземление.

Решена задача обтекания трамплинной горы потоком воздуха. Составленная модель отображает основные физические закономерности рассматриваемого явления как то возникновение ветра под действием перепада давлений, увеличение скорости ветра под действием высотных ветров, поворот воздушного потока вспять при задании отрицательных скоростей на границах рассматриваемой области или отрицательного перепада давлений и т.д.

В дальнейшем планируется:

Исследовать влияние стартового толчка на результаты прыжка;

Провести более точный анализ аэродинамических коэффициентов, основанный на математической модели обтекания системы прыгун-лыжи потоком воздуха;

Поставить задачу оптимизации параметров прыжка и решить с применением прнципа максимума Понтрягина аналогично работам [2,3], но с учетом ограничения на скорость приземления;

Решить нестационарную задачу обтекания горы потоком воздуха: если даже небольшой постоянный ветер приводит к сносу в десятки метров, может, допустимыми окажутся небольшие порывы ветра.

Список литературы

1. Грозин Е.А. Прыжки с трамлина. - М.: Физкультура и спорт, 1971.

2. Ремизов Л. П. Максимальная дальность прыжка с трамплина. // Теория и практика физической культуры. 1973, т. 3, с.73-75.

3. Remizov L. P. Biomechanics of optimal ski jump. // J.Biomechanics. 1984, vol.17, №3, pp.167-171.

4. Багин Н.А.,.Волошин Ю.И, Евтеев В.П.. К теории полета лыжника при прыжках с трамплина. // Теория и практика физической культуры. 1997, №2, с.9-11.

5. Komi, P. V., Nelson, R. S. and Pulli, M. Biomechanics of Ski-Jumping. - Jivaskyla, 1974.

6. Петров В.А., Гагин Ю.А. Механика спортивных движений. - М.: Физкультура и спорт, 1977.

7. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: в двух томах. - М.: Мир, 1991.

8. Тарунин Е.Л. Двухполевой метод решения задач гидродинамики вязкой жидкости. - Пермь: Изд-во ПГУ, 1985.

9.HЬTTE. Справочник для инженеров, техников и студентов. Том первый. М.-Л.: Главная редакция литературы по машиностроению и металлообработке, 1936.