ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ
Как известно, размерность (число измерений) геометрической фигуры - это число координат, необходимых для определения положения лежащей на этой фигуре точки
Например, положение точки на кривой определяется одной координатой, на поверхности (не обязательно плоскости) - двумя координатами, в трехмерном пространстве - тремя координатами.
С БОЛЕЕ ОБЩЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ МОЖНО ОПРЕДЕЛИТЬ РАЗМЕРНОСТЬ ТАКИМ ОБРАЗОМ: увеличение линейных размеров, скажем, в два раза для одномерных с топологической точки зрения) объектов (отрезок) приводит к увеличению размера (длины) в два раза, для двухмерных (квадрат) такое же увеличение линейных размеров приводит к увеличению размера (площади) в четыре раза, для трехмерных (куб) - в восемь раз. "Реальную" (т.н. Хаусдорфову) размерность можно подсчитать в виде отношения логарифма объекта к логарифму увеличения его линейного размера. То есть для отрезка D=log(2)/log(2)=l, для плоскости D=log(4)/ log(2)=2, для объема D=log(8)/log(2)=3. Подсчитаем теперь размерность кривой Коха, для построения которой единичный отрезок делят на три равные части и заменяют средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. При увеличении линейных размеров минимального отрезка в три раза длина кривой Коха возрастает в log(4)/log(3)~l,26. То есть размерность кривой Коха - дробная!
СНЕЖИНКА КОХА
Вверху - схема получения кривой Коха; внизу - одна из разновидностей этой кривой, снежинка Коха
Комплексные числа
Комплексное число - это число, состоящее из двух частей, действительной и мнимой, то есть формальная сумма х + iy (х и у здесь - вещественные числа, i - так называемая мнимая единица, число, удовлетворяющее уравнению i2 = -1). Над комплексными числами определены основные математические операции - сложение, умножение, деление, вычитание Сне определена только операция сравнения). Для изображения комплексных чисел часто используется геометрическое представление - на плоскости (ее называют комплексной) по оси абсцисс откладывают действительную часть, а по оси ординат - мнимую, при этом комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами х и у.
Семейство драконов
Варьируя основу и фрагмент, можно получить потрясающее разнообразие конструктивных фракталов
Более того, подобные операции можно производить и в трехмерном пространстве. Примерами объемных фракталов могут служить "губка Менгера", "пирамида Серпинского" и другие.
К КОНСТРУКТИВНЫМ ФРАКТАЛАМ ОТНОСЯТ И СЕМЕЙСТВО ДРАКОНОВ. Иногда их называют по имени первооткрывателей драконами Хейвея-Хартера (своей формой они напоминают китайских драконов). Существует несколько способов построения этой кривой. Вот самый простой и наглядный: нужно взять достаточно длинную полоску бумаги (чем тоньше бумага, тем лучше) и согнуть ее пополам. Затем снова согнуть ее вдвое в том же направлении, что и в первый раз. После нескольких повторений (обычно через пять-шесть складываний полоска становится слишком толстой, чтобы ее можно было аккуратно гнуть дальше) нужно разогнуть полоску обратно, причем стараться, чтобы в местах сгибов образовались углы в 90°. Тогда в профиль получится кривая дракона. Разумеется, это будет лишь приближение, как и все наши попытки изобразить фрактальные объекты. Компьютер позволяет произвести гораздо больше шагов этого процесса, и в результате получается очень красивая фигура.
ПО ОБРАЗУ И ПОДОБИЮ
Эти фракталы получили свое имя за сходство с китайскими драконами. Не правда ли, похоже?
МНОЖЕСТВА МАНДЕЛЬБРОТА
На этом развороте вы видите фрактал, изображающий множество Мандельброта - то есть множество точек c на комплексной плоскости, для которых последовательность zn, определяемая итерациями z0=0, z1=z02+с, ... zn+1=zn2+c, конечна (то есть не уходит в бесконечность). Визуально множество Мандельброта выглядит как набор бесконечного количества различных фигур, самая большая из которых называется кардиоидой (она похожа на стилизованное изображение сердца и получила свое название от двух греческих слов - "сердце" и "вид"). Кардиоида окружена все уменьшающимися кругами, каждый из которых окружен еще меньшими кругами, и т.д. до бесконечности. При любом увеличении этого фрактала будут выявляться все более и более мелкие детали изображения, дополнительные ветки с более мелкими кардиоидами, кругами. И этот процесс можно продолжать бесконечно.
СБЕЖАВШИЕ ЧИСЛА
Для построения графического изображения множества Мандельброта можно использовать алгоритм, называемый escape-time. Суть его такова. Доказано, что все множество целиком расположено внутри круга радиуса 2 на плоскости. Поэтому будем считать, что если для точки c последовательность итераций функции f (0) после некоторого большого их числа N (скажем, 100) не вышла за пределы этого круга, то точка принадлежит множеству и красится в черный цвет. Соответственно, если на каком-то этапе, меньшем N, элемент последовательности по модулю стал больше 2, то точка множеству не принадлежит и остается белой. Таким образом, можно получить черно-белое изображение множества, которое и было получено Мандельбротом. Чтобы сделать его цветным, можно, например, каждую точку не из множества красить в цвет, соответствующий номеру итерации, на котором ее последовательность вышла за пределы круга.
ФРАКТАЛЫ НЬЮТОНА (СЛЕВА)
Еще один тип динамических фракталов составляют фракталы (так называемые бассейны) Ньютона. Формулы для их построения основаны на методе решения нелинейных уравнений, который был придуман великим математиком еще в XVII веке. Применяя общую формулу метода Ньютона z , = z - f(z )/f'(z ),
n+1 n=0, 1, 2... для решения уравнения f(x)=0 к многочлену zk-a, получим последовательность точек: z 1 = (k-1)z k/kz k-1, n=0, 1, 2.. Выбирая в качестве начальных приближений различные комплексные числа z0, будем получать последовательности, которые сходятся к корням этого многочлена. Поскольку корней у него ровно k, то вся плоскость разбивается на k частей - областей притяжения корней. Границы этих частей имеют фрактальную структуру. (Заметим в скобках, что если в последней формуле подставить k=2, а в качестве начального приближения взять z0=a, то получится формула, которую реально используют для вычисления корня квадратного из a в компьютерах.)
МНОЖЕСТВА ЖУЛИА
Любая точка z комплексной плоскости имеет свой характер поведения (остается конечной, стремится к бесконечности, принимает фиксированные значения) при итерациях функции f(z), а вся плоскость делится на части. При этом точки, лежащие на границах этих частей, обладают таким свойством: при сколь угодно малом смещении характер их поведения резко меняется (такие точки называют точками бифуркации). При этом множества точек, имеющих один конкретный тип поведения, а также множества бифуркационных точек часто имеют фрактальные свойства. Это и есть множества Жулиа для функции f(z). На рисунке изображены множества Жулиа для функции f(z)=z2-(0,12+0,76i).
Список литературы
Популярная механика № 3 (77)март 2009