"Инкарнация" кватернионов (стр. 2 из 3)

Тождество Эйлера

Начнем с уникально интересной теоремы.

Теорема. Модуль произведения 2-x кватернионов равен произведению модулей сомножителей.

Доказательство.

Сначала докажем, что кватернион, сопряженный с произведением 2-х кватернионов, равен произведению сопряженных кватернионов, взятых в обратном порядке.

Действительно, пусть α = а + u, β = в + v, где а, в

R, u и v – вектор-кватернионы. Тогда αβ = аb+ аv + вu+ vu= ab – (uv) + av+ bu+ [u, v].

Далее,

= аb – ub+ vu= аb– (u, v) –аv –bu+ [v, u] = аb– (u, v) – аv –bu– [u, v] = αβ.

Теперь имеем:

,

откуда

, что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь тождество

через компоненты кватернионов, положив

α = а₁ – b₁i– c₁j– d₁k, β = а₂ – в₂i– с₂j– d₂k так, что

αβ=a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂-d₁d₂+(а₁b₂-в₁a₂-с₁d₂+d₁c₂) i+(а₁c₂+b₁d₂-с₁a₂-d₁b₂) j+(а₁a₂-в₁c₂+с₁b₂-d₁a₂) k.

Получим известное тождество Эйлера:

(а₁²+в₁²+с₁²+d₁²) (а₂²+в₂²+с₂²+d₂²)=(а₁a₂+b₁b₂+с₁c₂+d₁d₂)²+(а₁b₂-b₁a₂-с₁d₂+d₁c₂)²+(а₁c₂-b₁d₂-с₁a₂-d₁b₂)²+(а₁d₂-b₁c₂+с₁b₂-d₁a₂)²,

позволяющее выразить произведение двух сумм квадратов в виде суммы 4 квадратов билинейных выражений. Аналогичные тождества имеют место для сумм двух квадратов (это тождество связано с умножением комплексных чисел) и для сумм 8 квадратов. Оказывается, что аналогичных тождеств для сумм n квадратов, кроме перечисленных при n = 2,4,8 и тривиального тождества при n = 1, не существует.

Вращение трехмерного евклидова пространства

Пусть u, v, w – тройка попарно ортогональных векторов единичной длины, ориентированная так же, как тройка i, j, k. Тогда согласно правилу умножения векторов в алгебре кватернионов получим υ² = v² = ω² = -1. Далее, υv = – vυ + [υ, v] = [υ, v] = ω. Здесь воспользуемся тем, что векторное произведение взаимоортогональных единичных векторов равно единичному вектору, ортогональному к ним обоим и направленному в соответствии с ориентацией базисных векторов i, j, k. Аналогично, vυ = -ω; vω = -ωv = υ; ωυ = -υω = ω. Таким образом, правило умножения векторов υ, v, ω является полным аналогом правила умножения векторов i, j, k. Иными словами, отображение 1→1, i→υ, j→v, k→ω задает изоморфизм алгебры кватернионов на себя, то есть, автоморфизм этой алгебры. Линейное преобразование пространства векторов, отражающих тройку i, j, k на тройку υ, v, ω, есть, очевидно, собственно ортогональное преобразование, ибо эти 2 тройки образуют ортогональные, одинаково ориентированные базисы пространства векторов.

Все автоморфизмы получаются указанным способом.

Действительно, пусть υ, v, ω – φ-образы i, j, k при некотором автоморфизме. Тогда υ² = v² = ω² = -1; vυ = -υv = ω; vω = -ωv = υ и ωυ = -υω = v. Из равенства υ² = 1 заключаем, что кватернион и есть вектор единичной длины. Действительно, пусть υ = а + υ₁, где а – скалярная часть υ. Тогда -1 = υ² = а² + 2аυ₁ -

, откуда 2аυ₁= 0. Если допустить, что υ₁= 0, то 1 = а², что невозможно. Поэтому υ ≠ 0, следовательно, а = о, . По той же причине кватернионы υ и v являются векторами единичной длины. Далее, из того, что скалярная часть кватерниона υv = ω равна 0, заключаем, что векторы υ и v ортогональны. По той же причине ортогональны векторы υ, ω и ω, υ, так что υ, v, ω составляют тройку попарно ортогональных единичных векторов. Ориентация этой тройки совпадает с ориентацией тройки i, j, k, ибо в противном случае было бы υv = ω, а не vυ = ω.

Пусть теперь α – некоторый кватернион единичного модуля. Отображение х→α^-1хα есть автоморфизм алгебры кватернионов и, следовательно, он осуществляет некоторое собственное вращение пространства векторов. Пусть α=а+υ₀, где а – скалярная часть α. Тогда

, так что можно положить а = соsφ, = sinφ, 0≤φ≤ . Тогда α = cosφ + υsinφ, где υ – вектор единичной длины (если α = -1, то υ₀ = 0 и в качестве υ можно взять любой единичный вектор).

Пусть теперь v – какой-либо вектор единичной длины, ортогональный векторам υ, v, и пусть ω = υv. Выясним, как действует автоморфизм х→α^-1хα на векторы υ, v, ω. Ясно, что векторы α и υ коллинеируют, так что α ^-1υα = υ.

Далее,

α^-1= cosφ-υsinφ; α=cosφ+υsinφ;

α^-1vα=(cosφ-υsinφ) v(cosφ+υsinφ)=(vcosφ-ωsinφ) (cosφ+υsinφ)=

=vcos2φ-ωsinφcosφ+vυsinφcosφ-ωυ2sinφ=v(cos2φ-sin2φ)-2ωsinφcosφ=vcos2φ-ωsin2φ;

α ^-1ωα =(ωcosφ+vsinφ) (cosφ+υsinφ)=vsin2φ+vcos2φ.

Итак, автоморфизм х→α^-1хα не меняет вектор υ и поворачивает на угол 2φ плоскость, натянутую на вектора v и ω (считаем положительным направление вращения от v к ω), то есть, вращает пространство векторов вокруг оси, проходящей через вектор υ, на угол 2φ. Известно, что всякое собственное вращение трехмерного пространства есть поворот вокруг оси на некоторый угол, так что любое собственное вращение может рассматриваться как трансформация х→α^-1хα пространством кватерниона с единичным модулем.

Заметим, что преобразование х→α^-1хα при

не дает ничего нового, если положить и при любом кватернионе х.

В любой ассоциативной алгебре с единицей обратимый элемент α порождает автоморфизм алгебры х→α^-1хα, называемый внутренним автоморфизмом алгебры.

Кватернионы единичного модуля образуют группу относительно умножения. Сопоставление каждому такому кватерниону вращения х→α^-1хα трехмерного пространства векторов есть гомоморфное отображение, ибо

, то есть, произведению кватернионов отвечает произведение вращения. Ядро этого гомоморфизма состоит только из элементов .

Действительно, α = а + bi + сj + dk принадлежит ядру, если α^-1хα = х, при любом векторе х, т.е., если хα = αх. Положив х = i, получим с = d = 0, а, положив х = j, получим

b= d = 0.

Итак, α = а =

1, ибо . Тем самым получаем, что группа S0 (3) собственных вращений трехмерного пространства изоморфна фактор-группе кватернионов единичного модуля по подгруппе { 1}.

Представление трехмерных вращений при помощи кватернионов очень удобно тем, что кватернион, связанный с вращением, определяет непосредственно его геометрические характеристики – ось вращений и угол поворота. При обычном задании вращения при помощи ортогональной матрицы для определения оси вращения и угла нужно произвести некоторые вычисления. Закон умножения кватернионов тоже проще закона умножения матриц 3 порядка.

Заметим еще, что группа кватернионов с единичным модулем изоморфна группе u(2) унитарных матриц 2-го порядка с определителем равным единице.

Действительно, кватерниону α = а + bi + сj + dk соответствует матрица

,

а сопряженная

– кватерниону

.

Из равенства

следует, что АА*=Е, т.е. матрица произведений является унитарной.