Для удобства работы с приведенной моделью II порядка, с помощью обозначений (3) преобразуем ее к виду (2’):

(3)

(2’)

Задача заключается в том, чтобы по результатам наблюдений определить значения коэффициентов b_i, дисперсии и доверительные границы для них, а также определить их значимость.

Согласно МНК, для нахождения коэффициентов b_i, необходимо минимизировать функцию:

(4)

где N – количество опытов;

x_ui –значение i-й переменной в u-м опыте;

y_u – значение экспериментальных y в u-м опыте;

Из условия минимизации функции ss, можно получить систему нормальных уравнений МНК:

(5)

Представив все результаты в матричной форме, получим:

, (6)

где X – матрица условий эксперимента; Y – матрица результатов опытов; B – матрица коэффициентов.

Умножив транспонированную матрицу X на матрицу X, получим матрицу системы нормальных уравнений, которая называется информационной матрицей Фишера (матрицей моментов):

(7)

Умножив транспонированную матрицу X на матрицу Y, получим:

(8)

Используя данные обозначения, систему нормальных уравнений можно записать в матричной форме:

(9)

Обозначая обратную матрицу моментов как:

(10)

получим выражение для матрицы коэффициентов:

(11)

Все статистические свойства коэффициентов линии регрессии определяется матрицей дисперсий ковариаций.

(12)

где cov(b_i, b_j) – ковариации коэффициентов b_i, и b_j;

S²(b_i) – дисперсия коэффициента b_i;

S²(y) – дисперсия опыта.

Дисперсию опыта можно определить по формулам:

(13)

(14)

где m – количество параллельных опытов.

Если параллельные опыты не проводятся, то для оценки дисперсии опыта ставятся эксперименты в центре плана. Тогда дисперсия определяется по формуле:

(15)

где

- количество опытов в центре плана.

Так как ядро плана ортогонально, то для сохранения ортогональности композиционного плана необходимо при построении матрицы планирования обеспечить условия:

Величина

зависит от фактора и от плеча d:

;

Для k=3 ядро =15,

=11/15=0.7303, d=1.2154

2.2 Кодирование факторов

Кодирование факторов используется для перевода натуральных факторов в безразмерные величины, чтобы построить стандартную план – матрицу эксперимента.

Для перевода заполняется таблица кодирования факторов на двух уровнях. В качестве 0-го уровня обычно выбирается центр интервала, в котором предполагается вести эксперимент.

Связь между кодовым и натуральным значениями фактора:

(16)

где X_i – натуральное значение фактора;

X_i0 –значение этого фактора на нулевом уровне;

d_I – интервал варьирования факторов.

Составим таблицу кодирования факторов, используя исходные данные.

Таблица 1 - Таблица кодирования факторов

2.3 Составление план – матрицы

В план – матрице должны быть указаны все возможные комбинации уровней факторов.

Таблица 2 – Расширенная план – матрица ортогонального плана

2.4 Проверка воспроизводимости опытов

При одинаковом числе параллельных этапов воспроизводимость опытов определяется по критерию Кохрена.

Для этого сначала считаются дисперсии, характеризующие рассевание результатов на каждом u-м опыте.

Проверка воспроизводимости опытов показана на рисунке 2.

Рисунок 2- Воспроизводимость опытов

2.5 Расчет коэффициентов регрессии

Поскольку план ортогонален, то коэффициенты регрессии будут определяться независимо друг от друга по формулам:

Значения

при ядре плана

Матрица дисперсий (ковариаций) коэффициентов регрессии рассчитывается по формуле (10).

2.6 Определение значимости коэффициентов

Значимость коэффициентов регрессии проверяют по критерию Стьюдента:

(17)

Дисперсия коэффициентов определяется по формуле

2.7 Проверка адекватности модели

Адекватность модели проверяется с помощью критерия Фишера:

(17)

, (18)

где S_ад² – дисперсия адекватности, рассчитываемая по формуле (18);

S_y² – дисперсия опыта;

a=0.05;

f_ад=N-l, число свободы дисперсии адекватности;

f_y=N(m-1), число свободы дисперсии опыта;

l – количество значимых коэффициентов.

Если неравенство (17) выполняется, значит модель адекватна.

3. Выбор и описание метода условной оптимизации

3.1 Выбор метода условной оптимизации

При решении поставленной задачи оптимизации был использован метод Фиако-МакКормика, который относится к непрямым методам решения задач нелинейного программирования. Непрямые методы преобразуют задачи с ограничениями в последовательность задач безусловной оптимизации путем введения в целевую функцию штрафных функций.

3.2 Описание метода условной оптимизации (Фиако-МакКормика)

Алгоритм метода Фиако-Маккормика

Этап 1. Задание

Этап 2. Нахождение методом прямого поиска минимума вспомогательной функции

, т.е.

Этап 3. Проверка условий окончания поиска

. Если условие выполняется по переход на этап 6, иначе переход на этап 4.

Этап 4. Уменьшение значения

Этап 5. Увеличение

. Переход на этап 2.

Этап 6. Оптимальное решение

4. Описание программы

4.1 Общие сведения

Обозначение программы - vpRgr.exe.

Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах (стр. 2 из 5)