Можна вважати одним із спонукальних мотивів виникнення доказу необхідність осмислення й узагальнення результатів попередників. Проте і цьому чиннику не належить вирішальна роль, тому що, наприклад, існують теорії, які сприймаються як очевидні, але отримали суворе обґрунтування в античній математиці (наприклад, теорія подільності на 2).
Поява потреби доказу в грецькій математиці одержує задовільне пояснення, якщо врахувати взаємодію світогляду на розвиток математики. У цьому відношенні греки істотно відрізняються від своїх попередників. У їх філософських і математичних дослідженнях виявляються віра в силу людського розуму, критичне відношення до досягнень попередників, динамізм мислення. У греків вплив світогляду перетворився зі стримуючого чинника математичного пізнання в стимулюючий, у діючу силу прогресу математики.
У тому, що обґрунтування прийняло саме форму доказу, а не зупинилося на емпіричній перевірці, вирішальним є поява нової, світоглядної функції науки. Фалес і його послідовники сприймають математичні досягнення попередників, насамперед для задоволення технічних потреб, але наука для них - щось більше, ніж апарат для рішення виробничих задач. Окремі, найбільше абстрактні елементи математики вплітаються в натурфілософську систему і тут виконують роль антипода міфологічним і релігійним віруванням. Емпірична підтверджуваність для елементів філософської системи була недостатньою в силу спільності їхнього характеру й убогості підтверджуваних фактів. Математичні знання ж на той час досягли такого рівня розвитку, що між окремими положеннями можна було встановити логічні зв'язки. Така форма обґрунтувань виявилася об'єктивно прийнятною для математичних положень.
На підставі даного вище дослідження мілетської школи можна лише переконатися в активному впливі світогляду на процес математичного пізнання тільки при радикальній зміні соціально-економічних умов життя товариства. Проте залишаються відкритими питання про те, чи впливає зміна філософської основи життя товариства на розвиток математики, чи залежить математичне пізнання від зміни ідеологічної спрямованості світогляду, чи має місце обернений вплив математичних знань на філософські ідеї. Можна спробувати відповісти на поставлені питання, звернувшись до діяльності піфагорейської школи.
Піфагореїзм як напрямок духовного життя існував протягом всієї історії Древньої Греції, починаючи з VI століття до н.е. І пройшов у своєму розвитку ряд етапів. Питання про їхню тимчасову тривалість складне і дотепер не вирішене однозначно. Основоположником школи був Піфагор Самосський (бл. 580-500 до н.е.). Жоден рядок, написаний Піфагором, не зберігся; взагалі невідомо, чи вдавався він до письмової передачі своїх думок. Що було зроблено самим Піфагором, а що його учнями, встановити дуже важко. Свідчення про нього старогрецьких авторів суперечливі; якоюсь мірою різноманітні оцінки його діяльності відбивають різноманіття його навчання.
У піфагореїзмі виділяють дві складові: практичну ("піфагорейський спосіб життя") і теоретичну (визначена сукупність навчань). У релігійному навчанні піфагорійців найбільш важливою рахувалась обрядова сторона, потім малося на увазі створити визначений щиросердечний стан і лише потім по значимості йшли вірування, у трактуванні яких припускалися різні варіанти. У порівнянні з іншими релігійними плинами в піфагорійців були специфічні уявлення про природу і долю душі. Душа - істота божественна, вона укладена в тіло на кару за гріхи. Вища ціль життя - звільнити душу з тілесної в’язниці, не впустивши в інше тіло, що нібито відбувається після смерті. Шляхом для досягнення цієї цілі є виконання визначеного морального кодексу, "піфагорейський спосіб життя". У численній системі розпоряджень, що регламентували майже кожен крок життя, значне місце приділялося заняттям музикою і науковими дослідженнями.
Теоретична сторона піфагореїзму тісно пов'язана з практичною. У теоретичних вишукуваннях піфагорійці бачили кращий засіб звільнення душі з кола народжень, а їхні результати ринулися використовувати для раціонального обґрунтування гаданої доктрини. Мабуть, у діяльності Піфагора і його найближчих учнів наукові положення були перемішані з містикою, релігійними і міфологічними уявленнями. Вся ця "мудрість" викладалася в якості висловлювань оракула, яким надавався прихований зміст божественного одкровення.
Основними об'єктами наукового пізнання в піфагорійців були математичні об'єкти, у першу чергу числа натурального ряду ("Число є сутність усіх речей"). Значне місце приділялося вивченню зв'язків між парними і непарними числами. В області геометричних знань увага акцентується на найбільших абстрактних залежностях. Піфагорійцями була побудована значна частина планіметрії прямокутних фігур; вищим досягненням у цьому напрямку був доказ теореми Піфагора, окремі випадки якої за 1200 років до цього приводяться в клинописних текстах вавилонян. Греки доводять її загальною уявою. Деякі джерела приписують піфагорійцям навіть такі видатні результати, як побудова п'ятьох правильних багатогранників.
Числа в піфагорійців виступають основними універсальними об'єктами, до яких передбачалося зводити не тільки математичні побудови, але і все різноманіття дійсності. Фізичні, етичні, соціальні і релігійні поняття одержали математичне фарбування. Науці про числа й інші математичні об'єкти приділяється основне місце в системі світогляду, тобто фактично математика об'являється філософією. Як писав Аристотель, "...у чисел вони вбачали, здавалося б, багато подібних рис із тим, що існує і відбувається, - більше, ніж у вогню, землі і води... У них, очевидно, число приймається за початок і в якості матерії для речей, і в якості вираження для їхніх станів і властивостей... Наприклад, такою-то властивістю чисел є справедливість, а такою-то - душа і розум, іншою - вдача, і можна сказати - у кожному з інших випадків точно також. "
Якщо порівнювати математичні дослідження ранньої піфагорейської і мілетської шкіл, то можна виявити ряд істотних розходжень. Так, математичні об'єкти розглядалися піфагорійцями як першосутність світу, тобто радикально змінилося саме розуміння природи математичних об'єктів. Крім того, математика перетворена піфагорійцями в складову релігії, у засіб очищення душі, досягнення безсмертя. І нарешті, піфагорійці обмежують область математичних об'єктів найбільше абстрактними типами елементів і свідомо ігнорують додатки математики для рішення виробничих задач. Але чим же обумовлені такі глобальні розбіжності в розумінні природи математичних об'єктів у школах, що існували практично в той самий час і черпали свою мудрість, очевидно, із того самого джерела - культури Сходу? Втім, Піфагор, швидше за все, користувався досягненнями мілетської школи, тому що в нього, як і у Фалеса, виявляються основні ознаки розумової діяльності, що відрізняються від догрецької епохи; проте математична діяльність цих шкіл носили істотно різноманітний характер.
Аристотель був одним із перших, хто спробував пояснити причини появи піфагорівської концепції математики. Він бачив їх у межах самої математики: "Так звані піфагорійці, зайнявшись математичними науками, уперше рушили їх вперед і, виховавшись на них, стали вважати їх початками всіх речей." Подібна точка зору не позбавлена підстави хоча б у силу придатності математичних положень для вираження відношень між різноманітними явищами. На цій підставі можна, неправомірно розширивши даний момент математичного пізнання, прийти до твердження про виразність всього існуючого за допомогою математичних залежностей, а якщо вважати числові відношення універсальними, то "число є сутність усіх речей". Крім того, до часу діяльності піфагорійців математика пройшла довгий шлях історичного розвитку; процес формування її основних положень губився в темряві століть. Таким чином, з'являлася спокуса зневажити ним і оголосити математичні об'єкти чимось первинним стосовно існуючого світу. Саме так і зробили піфагорійці.
Крах піфагорійського навчання варто зв'язувати в першу чергу не з виродженням аристократії як класу, а зі спробою піфагорійців зіпсувати самому природу процесу математичного пізнання, позбавивши математику таких важливих джерел прогресу, як додатки до виробництва, відкрите обговорення результатів досліджень, колективна творчість, утримати прогрес математики в рамках рафінованого навчання для присвячених. До речі, самі піфагорійці підірвали свій основний принцип "число є сутність усіх речей", відкривши, що відношення діагоналі і сторони квадрата не виражається за допомогою цілих чисел.
Таким чином, вже у вихідному пункті свого розвитку теоретична математика була схильна впливу боротьби двох типів світогляду - матеріалістичного і релігійно-ідеалістичного. А поряд із впливом світогляду на розвиток математичного пізнання має місце й обернений вплив.
3. Елейська школа
Елейська школа досить цікава для дослідження, тому що це одна з найдавніших шкіл, у працях якої математика і філософія достатньо тісно і різнобічно взаємодіють. Основними представниками елейської школи вважають Парменіда (кінець VI - V ст. до н.е.) і Зенона (перша половина V ст. до н.е.).
Філософія Парменіда полягає в наступному: усілякі системи світорозуміння базуються на одній з трьох посилок: 1) Є тільки буття, небуття немає; 2) Існує не тільки буття, але і небуття; 3) Буття і небуття тотожні. Вірною Парменід визнає тільки першу посилку. Відповідно до нього, буття єдине, неподільне, незмінне, позачасне, закінчене в собі, тільки воно істинно існуюче; множинність, мінливість, переривчастість, текучість - усе це уділ мнимого.