Высшая математика (стр. 3 из 3)
Решение:
, тогда искомая площадь: 
, тогда искомая площадь: 
по формуле трапеции, принимая n = 5.
| N |  |  |
| 0 | 1 | 1,0000 |
| 1 | 2 | 0,2500 |
| 2 | 3 | 0,1111 |
| 3 | 4 | 0,0625 |
| 4 | 5 | 0,0400 |
| 5 | 6 | 0,0278 |
Тогда по формуле трапеций имеем:
Точное значение
Относительная погрешность
Повторим вычисления для 10 отрезков.
Длина интервала
Для удобства вычислений составим таблицу:
| N | | |
| 0 | 1 | 1,0000 |
| 1 | 1,5 | 0,4444 |
| 2 | 2 | 0,2500 |
| 3 | 2,5 | 0,1600 |
| 4 | 3 | 0,1111 |
| 5 | 3,5 | 0,0816 |
| 6 | 4 | 0,0625 |
| 7 | 4,5 | 0,0494 |
| 8 | 5 | 0,0400 |
| 9 | 5,5 | 0,0331 |
| 10 | 6 | 0,0278 |
Тогда по формуле трапеций имеем:
Относительная погрешность
Как видно, большее число разбиения дает более точный результат.
Задача 15. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Решение:
1)
Разделим переменные
2)
Разделим переменные
Задача 16
Преобразовать дифференциальные уравнения к однородному вида
. Выполнить замену y/x и решить.Решение:
1)
Разделим обе части на xy
2) 
Разделим обе части на x
или
Задача 17
Привести линейное дифференциальное уравнение к виду
и решить его применив подстановку y=u(x)∙v(x).Решение:
1)
Преобразуем
=> 
Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,
=>
=> 
, 
, 
2)
Преобразуем
=> 
Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,
=>
=> 
, 
, 
2)
Разделим обе части на x
или
Задача 18
Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Решение:
1)
Запишем характеристическое уравнение:
λ2–λ–6=0 => λ1,2=3;-2 =>
Тогда общее решение дифференциального уравнения:
y = C1e3x + C2e–2x
2)
Найдем решение однородного дифференциального уравнения:
запишем характеристическое уравнение
: λ2–6λ+9=0 => λ1,2= 3 =>
y0 = (C1+ C2x)e3x
Запишем частное решение по виду правой части:
ŷ = C3x2+ C4x+ C5
Найдем
ŷ ′ = 2C3x–C4
ŷ ′′ = 2C3
Подставим в исходное уравнение, получим:
2C3 – 6(2C3x–C4)+9(C3x2+ C4x+ C5) =9C3x2+(9C4–12C3)x+(2C3 + 6C4+9C5)= x2
=> C3 = 1/9, => C4 = 4/27, => C5 = –10/81
y = y0 + ŷ = (C1+ C2x)e3x +
