Высшая математика (стр. 2 из 2)

Отсюда, y

- = = = . Из x-z=1 имеем =z+1= +1=

Ответ: x=

,y=

, z= .

Элементы теории вероятности и математической статистики

Для решения задачи 3 см. [5] глава 1. § 1—5.

ЗАДАЧА 3.

Наскладе университетахранится 28 одинаковых упаковок писчейбумаги. Известно, что в четырехиз нихсодержитсябумага более низкого качества. Случайнымобразомвыбирают три упаковкибумаги, Вычислить вероятность того, что среди них;

А)нет упаковок с бумагой более низкого качества,

Б) есть однаупаковкатакой бумаги.

Решение. Общеечисло возможныхэлементарныхисходов для данных испытанийравно числуспособов, которымиможноизвлечь 3 упаковки бумаги из28 упаковок, то есть

= = = =13·9·28=3276 – числу сочетаний из 28 элементов по 3.

а)Подсчитаемчисло исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (нет упаковокс бумагой более низкого качества). Это число исходов ровно числуспособов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 24 упаковок (столько упаковок содержит бумагу высшего сорта), то есть

= = = =11·23·8=2024

искомая вероятностьравна отношению числа исходов, благоприятствующихсобытию, к числу всех элементарных исходов:

P₁=

= ≈0,62

б) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди трех упаковокбумаги ровно 1 упаковкасодержитбумагу болеенизкого качества): две упаковкиможно выбрать из 24 упаковок:

= = = =276 способами, при этом одну упаковку нужно выбирать из четырех: = = =4 способами. Следовательно,число благоприятствующих исходов равно

· =276·4=1104

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всехэлементарныхисходов p₂=

= ≈0,34

Ответ: а)p₁ =0,62;б) р₂=0,34.

ЗАДАЧА 4.

Магазинполучает электролампочкис двух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно, чтодоля брака на этих заводах равна соответственно5 % и 10 % от всей выпускаемойпродукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?

Решение: Обозначим черезАсобытие - «лампочкаокажетсябракованной». Возможны следующие гипотезы о происхождении этой лампочки: H₁-лампочка поступила с первого завода, H₂-лампочка поступила со второгозавода. Так как доля первого завода составляет 25 %, то вероятности этих гипотез равнысоответственно p(H₁)=

=0,25; p(H₂)=

=0,75.

Условная вероятность того, что бракованнаялампочка выпущенапервымзаводом – p(A/H₁)=

=0,05, вторымзаводом- p(A/H₂)= =0,10 искомую вероятностьтого, что продавец взял бракованную лампочку, находим по формуле полной вероятности

р(А) = P(H₁)· p(A/H₁)+P(H₂)·(A/H₂)=0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0.0875

Ответ: р(А) = 0,0875.

Для решениязадачи5 см. [5]глава6 § 1—3, глава 7 § 1-2, глава8 § J—3.

ЗАДАЧА 5.

Задан закон распределения дискретной случайной величеныX:

X	-4	-2	0	2	4	6	8
p	0,05	p	0,12	0,23	0,32	0,14	0,04

Найти:

а)неизвестную вероятность р.

б)математическое ожидание М, дисперсию Dисреднее квадратическоеотклонение σ данной случайной величены;

Решение:

а)так как сумма всех, вероятностей должна равняться единице, тополучим уравнение

0,05-p + 0,12 + 0,23-0,32 + 0,14+0,04 = 1.

Отсюда р+0,9 = 1и р=0,1.

б)Математическое ожидание М это сумма всех произведенийзначенийслучайной величины на их вероятности:

М = (-4)·0,05+(-2)·0,1 + 0·0,12 + 2·0,23 + 4·0,32 + 6·0,14 + +8·0,04-0,2-0,2+0 + 0,46 + 1,28 + 0,84 + 0.32 = -0,4 + 2,9 = 2,5.

Дисперсия D=∑(x₁)²·p₁-M²=

=(-4)·0.05+(-2)²·0,1+0²·0,12+2²·0,23+4²·0,32+6²·0,14+8²·0,04-(2,5)²=

=0,8+0+0,92+5,12+5,04+2,56-6,25=8,59

Среднее квадратическое отклонение σ =

= ≈2,9

ЗАДАЧА 6.

Построить выпуклый многоугольник, заданный системой неравенств

x₁-x₂ ≥ - 2;

x₁-3x₂ ≥ - 10,

x₁+2 x₂ ≥4,

x₁ ≤8,

x₂≥0.

Пользуясь геометрической интерпретацией основной задачи линейного программирования, найти минимум и максимум линейной формы

L=2x₁+x₂

Решение. Построим прямоугольную систему координат x₁Ox_2. Если в этой системе построить прямую ax₁ + bx₂ = c, то она разобьет плоскость x₁Ох₂на две полуплоскости, каждая из которых лежит но одну сторону от прямой. Сама прямая в этом случае называется граничной и принадлежит обеим полуплоскостям. Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости, удовлетворяют неравенству ах₁+bx₂≤c, а координаты точек, лежащих в другой полуплоскости,— неравенству. ах₁+bx_2≥c. Построим в плоскости x₁Ox₂граничные прямые x₁-x₂=-2(AB), x₁-3x₂=-10(BC), x₁+2 x₂=4(AE), x₁=8(CD) иx₂=0(ED).

В результате получим пятиугольник ABCDE(рис. 12). Значения x₁и x₂, удовлетворяющие системе неравенств (1), являются координатами точек, лежащих внутри или на границе найденного пятиугольника.

_x2

E

Dх₁

0

Рис. 1

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти те значения x₁иx₂, при которых линейная форма, L (2) имеет минимум, и те значения x₁ и х₂, при которых линейная форма Lдостигает максимума. Из рис. 1 видно, что координаты всех точек, лежащих внутри или награнице пятиугольника, не являются отрицательными, т. е. все значения x₁и х₂больше или равны нулю. Для каждой точки плоскости x₁Ox₂линейная форма Lпринимает фиксированноезначение. Множество точек, при которых линейная форма Lпринимает значение L₁, есть прямая 2x₁+х₂=L₁(l₁), которая перпендикулярна векторуN = 2i+j. Если прямую l₁ передвигать параллельно самой себе в положительномнаправлениивектора N, то линейная форма Lбудет возрастать, аесли прямую передвигать в противоположном направлении — убывать. Построим прямую (l₁) для того случая, когда L = 0, т.е. построим прямую 2x₁+х₂=0. Как видно из рис. 1 , при передвижении прямой l₁ в положительном направлении вектора N она впервые встретится с вершиной А построенного пятиугольника ABCDE. В этой вершине линейная форма Lимеет минимум. Следовательно, L_min=2·0+1·2=2, При дальнейшем передвижении прямой l₁ параллельно самой себе в положительном направлении вектора N значение линейной формы Lбудет возрастать, и оно достигнет максимального значения в точке С(8; 6). Таким образом, Lmax=2·8+1·6=22.