Зависимость потребления бензина от количества автомобилей (стр. 2 из 2)

.

Зная, что необходимым условием минимума функции является равенство нулю ее первых частных производных, имеем следующую систему для нахождения значений

:

,

Данная система может быть представлена в виде:

,

где

В результате получим что:

Докажем теперь, что в точке

функция имеет минимум. Достаточным условием существования экстремума функции двух переменных является следующее неравенство:

.

Для доказательства введем следующие обозначения:

Составим дискриминант

. Тогда, если , то функция имеет в точке экстремум, а именно минимум при А>0 (или С>0). Из системы видно, что эти условия выполняются: = , С=200>0.

То есть точка

действительно является точкой минимума.

Следовательно, функция

при данных значениях имеет следующий график:

рис.2. График уравнения линейной регрессии

Построение кривой y=px²+qx+r,наименее отклоняющейся от точек (X_i;Y_i) в среднем квадратичном

Для построения кривой

, наименее отклоняющейся от точек в среднем квадратичном, необходимо методом наименьших квадратов определить числа , и такие, что функция трех переменных принимает минимальное значение. Данная функция имеет вид:

Аналогично нахождению значений

для прямой составляем систему трех линейных уравнений, которая является необходимым условием минимума функции:

Данная система является системой линейных однородных уравнений. Решая эту систему методом Крамера и зная, что:

составляем определители, состоящие из коэффициентов при

и столбца свободных членов.

Значения

находим делением соответствующих определителей.

=

=

=

Докажем теперь, что в точке

функция

имеет минимум. Достаточным условием существования минимума функции трех переменных является следующее неравенство:

d

.

Получаем следующее уравнение:

Воспользуемся критерием Сильвестра, т.е. найдем миноры 1-ого, 2-ого и 3-ого порядков и докажем, что они положительные.

= =

Найдем миноры первого, второго и третьего порядков для этого определителя:

Так как все миноры положительны, то по критерию Сильвестра d

, и функция имеет минимум в точке .

Таким образом, парабола

имеет следующий график:

рис.3. График уравнения параболической регрессии

Анализ полученных результатов и вывод о зависимости X_i и Y_i

рис.4. Сравнение линейной и параболической регрессий

Для сравнения полученных результатов построения кривых

и определим значения статистик:

Поскольку

и , можно говорить о том, что зависимость между и близка и к линейной, и к квадратичной. При этом парабола меньше отклоняется от точек и , чем прямая

Вывод

Зависимость потребления бензина от количества автомобилей близка к линейной и к квадратичной. Однако видно, что разница между значениями статистик

небольшая. Следовательно, с практической точки зрения удобнее приближать точки выборки и к прямой .Выявление зависимости между потреблением бензина и количеством автомобилей пригодится для понимания ситуации, которая складывается у нас на дорогах и влияет на природу, поскольку потребление бензина всегда сопровождается вредными выбросами.

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа 1998.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике — М.: Высшая школа 1998.

3. Ивашев-Мусатов О. С. Теория вероятностей и математическая статистика — М.: Наука 1979.

4. Мазный Г.Л., Прогулова Т.Б. Методическое пособие к курсовому проектированию по ВМ и информатике. — Дубна: Кафедра ВМ и САУ, 1996.