Задачи математического программирования (стр. 3 из 6)

Симплексная таблица ЛП. В случае базисных переменных {x3, x4, x5} начальная симплекс таблица будет выглядеть:

Таблица 1.

-х1	-х2
х3 =	0,2	3	18
х4 =	0,7	2	13,1
х5 =	2,3	2	23
f(x) =	3	4

Она уже соответствует опорному плану x(0) = [0 0 18 13,1 23]Т (столбец свободных членов).

Симплексный метод решения задачи ЛП. Для того, чтобы опорный план был оптимален, при максимизации целевой функции необходимо, чтобы коэффициенты в строке целевой функции были неотрицательными, т.е. при поиске максимума мы должны освободиться от отрицательных коэффициентов в строке f(x).

Алгоритм симплекс метода.

1. Выбор разрешающего столбца. В качестве разрешающего выбираем столбец с минимальным коэффициентом в строке f(x). В данном примере это столбец х2.

2. Выбор разрешающей строки. Для выбора разрешающей строки (разрешающего элемента) среди положительных коэффициентов разрешающего столбца выбираем тот элемент, для которого отношение коэффициентов в столбце свободных членов к коэффициенту в разрешающем столбце минимально. Разрешающий элемент рассчитывается по формуле:

В данном примере такой строкой будет строка х3, т.к. отношение коэффициента в столбце свободных членов к коэффициенту в разрешающем столбце минимально.

3. Замена базиса. Для перехода к следующей симплексной таблице (следующему опорному плану с большим значением целевой функции) делаем шаг модифицированного жорданова исключения с разрешающим элементом arl, при котором базисная переменная xr становится свободной и одновременно свободная переменная xi становится базисной.

3.1 на месте разрешающего элемента ставится 1 и делится на разрешающий элемент;

3.2 остальные элементы разрешающего столбца меняют знак на противоположный и делятся на разрешающий элемент;

3.3 остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент;

3.4. все остальные элементы симплексной таблицы вычисляются по формуле:

3.5. элементы правого столбца и нижней строки пересчитываются по тому же принципу, что и элементы в центральной части таблицы.

Симплексная таблица, рассчитанная по алгоритму:

Таблица 2.

-х1	-х3
х2 =	0,067	0,3	6
х4 =	0,57	-0,67	1,1
х5 =	2,17	-0,67	11
f(x) =	-3,27	1,3	72,6

Следующим разрешающим столбцом будет столбец х1, а разрешающей строкой – х4. Далее действуем по тому же алгоритму.

Таблица 3.

-х4	-х3	1
х2 =	-0,1	0,24	5,87
х1 =	1,75	-1,17	1,03
х5 =	-3,8	1,88	5,8
f(x) =	5,7	-2,5	35,06

Следующим разрешающим столбцом будет столбец х5, а разрешающей строкой – х3. Далее действуем по тому же алгоритму.

Таблица 4.

-х4	-х5	1
х2 =	0,39	-0,13	4,4
х1 =	-0,61	0,6	6,19
Х3 =	-2	0,53	1,3
f(x) =	0,64	1,3	36,08

Конечная симплексная таблица:

Все коэффициенты в строке целевой функции положительны, т.е. мы нашли оптимальное решение.

Таким образом, в точке x1 = 4, x2 = 6, x3 = 1,3, x4 = 0, x5 = 0 целевая функция принимает максимальное значение f(x) = 36.

При этом переменным, которые стоят в верхней строке, в базисном решении присваивается значение 0 – это свободные переменные. Каждая из переменных, стоящая в левом столбце, приравнивается к числу, записанному в правом столбце той же самой строки – это базисные переменные.

Постановка двойственной задачи ЛП. Определить значение двойственных оценок можно следующим образом. если некоторый i-тый ресурс используется не полностью, т.е. имеется резерв, значит дополнительная переменная в ограничении для данного ресурса будет больше нуля. Очевидно, что при увеличении общего машинного времени не произошло бы увеличение целевой функции. Следовательно, машинное время не влияет на прибыль и для третьего ограничения двойственная переменная y3 = 0. Таким образом, если по данному ресурсу есть резерв, то дополнительная переменная будет больше нуля, а двойственная оценка данного ограничения равна нулю.

В данном примере оба вида сырья использовались полностью, поэтому их дополнительные переменные равны нулю (в итоговой симплексной таблице переменные х3 и х4 являются свободными, значит х3 = х4 = 0). Если ресурс использовался полностью, то его увеличение или уменьшение повлияет на объем выпускаемой продукции и, следовательно, на величину целевой функции. Значение двойственной оценки при этом находится в симплекс-таблице на пересечении строки целевой функции со столбцом данной дополнительной переменной.

Получить решение двойственной задачи из полученной ранее симплексной таблицы и произвести анализ полученных результатов. Формулировка и результаты решения исходной и двойственной задач распределения ресурсов приведены в таблице 4.

Таблица 4.

Исходная задача ЛП	Двойственная задача ЛП
Математическая постановка
Обозначения и интерпретация параметров задачи
xj, j = - количество производимой продукции j-го вида;f(x) – общая прибыль от реализации продукции	yi, i = - стоимость единицы i-го ресурса; - стоимость всех имеющихся ресурсов
Экономическая интерпретаци язадачи
Сколько и какой продукции необходимо произвести, чтобы пр заданных стоимостях cj, j = еддиницы продукции и размерах имеющихся ресурсов bi, i = максимизировать общую прибыль?	Какова должна быть цена единицы каждого из ресурсов, чтобы при заданных их количествах bi, i = и величинах стоимости единицы продукции cj, j = минимизировать общую стоимость затрат?
Результаты решения
Результирующая симплекс-таблица

Основные переменные

х1 = 6,19

х2 = 4,4

дополнительные переменные

х3 = 1,3

х4 = 0

х5 = 0

Дополнительные переменные

y4 = 0

y5 = 0

основные переменные

y1 = 0,64

y2 = 1,3

y3 = 0

Интерпретация дополнительных переменных xn+1, …., xn+m – неиспользованное (резервное) количество соответствующего ресурса (при наличие резервного ресурса соответствующая двойственная переменная навна 0) ym+1, …, ym+n – насколько уменьшится целевая функция при принудительном выпуске единицы данной продукции (если какая-либо из основных переменных исходной задачи равна 0)

Проверить результаты решения в табличном процессоре Excel. В Excel имеется надстройка «Поиск решения», которая позволяет решать оптимизационные задачи.

Использовав эту надстройку для решения нашей задачи ЛП, получаем следующий результат:

Таблица 6.

Переменные		Целевая функция
Вид продукции	Р1	Р2	Прибыль
Значение	6,1875	4,3844	36,1
Прибыль от ед. прод.	3	4	макс
Ограничения
Типы ресурсов	Р1	Р2	Расход ресурсов	Знак	Запас ресурсов
Сырье S1	0,2	3	14,390625	<=	18
СырьеS2	0,7	2	13,1	<=	13,1
Машинное время	2,3	2	23	<=	23