Законы больших чисел (стр. 2 из 3)

б) Выборка. Предположим, что в генеральной совокупности,

состоящей из N семей, Nk семей имеют ровно по k детей

(k = 0, 1 ...;

Nk = N). Если семья выбрана наугад, то число детей в ней является случайной величиной, которая принимает значение с вероятностью p

=N /N. При выборе с возвращением можно рассматривать выборку объема n как совокупность n независимых случайных величин или «наблюдений» ₁, ..., _n, которые имеют все одно и то же распределение; S_n/n является средним значением выборки. Закон больших чисел утверждает, что для достаточно большой случайной выборки ее среднее значение будет, вероятно, близким к , т. е, к среднему значению генеральной совокупности. Центральная предельная теорема позволяет оценить вероятную величину расхождения между этими средними значениями и определить объем выборки, необходимый для надежной оценки. На практике и и обычно неизвестны; однако в большинстве случаев удается легко получить предварительную оценку для и всегда можно заключить в надежные границы. Если мы желаем, чтобы с вероятностью 0,99 или большей среднее значение выборки S_n/n отличалось от неизвестного среднего значения генеральной совокупности менее, чем на 1/10, то объем выборки должен быть взят таким, чтобы

(1.4)

Корень х уравнения Ф(х) — Ф(— х) = 0,99 равен х = 2,57 ..., и, следовательно, n должно быть таким, что

2,57 или n > 660 . Осторожная предварительная оценка дает возможность найти необходимый объем выборки.

в) Распределение Пуассона.

Предположим, что случайные величины

_k имеют распределение Пуассона {p(k; )}. Тогда Sn имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием и дисперсией, равными n .

Написав

вместо n , мы заключаем, что при n

(1.5)

Суммирование производится по всем k от 0 до

. Ф-ла (1.5) имеет место и тогда, когда произвольным образом.

Доказательство закона больших чисел

Проведем это доказательство в два этапа. Сначала предположим, что

существует, и заметим, что в этом случае D(S„) по теореме о дисперсии суммы. Согласно неравенству Чебышева, при любом t> 0

(2.1)

При t>

nлевая часть меньше, чем , а последняя величина стремится к нулю. Это завершает первую часть доказательства.

Отбросим теперь ограничительное условие существования D(

). Этот случай сводится к предшествующему методом усечения.

Определим два новых набора случайных величин, зависящих от

, следующим образом:

U_k=

, V_k=0, если (2.2)

U_k=0, V_k=

, если

Здесь k=1,… , п и

фиксировано. Тогда

=U_k+V_k(2.3)

при всех k.

Пусть {f(

_j)} — распределение вероятностей случайных величин (одинаковое для всех _j). Мы предположили, что = M( ) существует, так что сумма

(2.4)

конечна. Тогда существует и

(2.5)

где суммирование производится по всем тем j, при которых

. Отметим, что хотя и зависит от п, но оно одинаково для

U₁, U_2,..., U_n. Кроме того,

при , и, следовательно, для произвольного > 0 и всех достаточно больших n

.(2.6)

Далее, из (2.5) и (2,4) следует, что

(2.7)

U_kвзаимно независимы, и с их суммой U₁+U₂+…+U_nможно поступить точно так же, как и с X_kв случае конечной дисперсии, применив неравенство Чебышева, мы получим аналогично (2.1)

(2.8)

Вследствие (2.6) отсюда вытекает, что

(2.9)

Далее заметим, что с большой вероятностью V_k= 0. Действительно,

(2.10)

Поскольку ряд (2.4) сходится, последняя сумма стремится к нулю при возрастании n. Таким образом, при достаточно большом п

P{V_k

0} (2.11)

и следовательно

P{V₁+…+V_n

0} . (2.12)

Но

, и из (2.9) и (2.12) получаем

(2.13)

Так как

и произвольны, правая часть может быть сделана сколь угодно малой, что и завершает доказательство.

Теория «безобидных» игр

При дальнейшем анализе сущности закона больших чисел будем пользоваться традиционной терминологией игроков, хотя наши рассмотрения допускают в равной степени иболее серьезные приложения, а два наших основных предположения более реальны в статистике и физике, чем в азартных играх. Во-первых, предположим, что игрок обладает неограниченным капиталом, так что никакой проигрыш не может вызвать окончания игры. (Отбрасывание этого предположения приводит к задаче о разорении игрока, которая всегда интригует изучающих теорию вероятностей.) Во-вторых, предположим, что игрок не имеет нрава прервать игру, когда ему заблагорассудится: число п испытаний должно быть фиксировано заранее и не должно зависеть от хода игры. Иначе игрок, осчастливленный неограниченным капиталом, дождался бы серии удач и в подходящий момент прекратил бы игру. Такого игрока интересует не вероятное колебание в заданный момент, а максимальные колебания в длинной серии партий, которые описываются скорее законом повторного логарифма, чем законом больших чисел .