МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет психологии валеологии и спорта
РЕФЕРАТ
Тема: "Знакомство с топологией"
2009 г.
План
Введение
1. Основные этапы развития топологии
2. Общая характеристика топологии
3. Общая топология
4. Топологическое пространство
5. Важные проблемы и результаты
Заключение
Список использованных источников и литературы
Введение
Топология – сравнительно молодая математическая наука. Примерно за сто лет ее существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики. Поэтому проникновение в «мир топологии» для начинающего несколько затруднительно, так как требует знания многих фактов геометрии, алгебры, анализа и других разделов математики, а также умения рассуждать.
Топология оказывает влияние на многие разделы математики. Она изучает, в частности, такие свойства произвольных геометрических образов, которые сохраняются при преобразованиях, происходящих без разрывов и склеивания, или, как говорят математики, – при взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях. Такие преобразования называют топологическими. Два геометрических образа в топологии рассматриваются как «одинаковые», если один из них можно перевести в другой топологическим преобразованием. Например, круг и квадрат на плоскости можно преобразовать друг в друга топологическим преобразованием – это топологически эквивалентные фигуры. В то же время круг и кольцевая область, получаемая из круга «выбрасыванием» концентричного круга меньшего радиуса, с точки зрения топологии – различны.
Топология делится на два раздела – общую или теоретико-множественную топологию и алгебраическую топологию. Деление это в значительной мере условно. Одна из основных задач общей топологии – анализ математической концепции непрерывности в ее наиболее общей форме. Для этого было введено понятие топологического пространства. В топологии разработана весьма изощренная алгебраическая и аналитическая техника, значение которой выходит далеко за пределы первоначальной сферы ее применения. Сюда входит, в частности, так называемая гомологическая алгебра, которая является рабочим инструментом также и в теории уравнений с частными производными, в теории функций многих комплексных переменных и т.д. Один из разделов общей топологии – теория размерности. Что значит, что некоторое пространство двумерно, трехмерно или, вообще, n-мерно? Размерность есть одна из фундаментальных характеристик топологического пространства. Определение ее в общем случае оказывается весьма непростым. В. Кузьминовым был построен ряд примеров, показывающих парадоксальность поведения размерности в определенных ситуациях. И. Шведовым изучалась задача об аксиоматическом определении размерностей, и он опроверг, в частности, некоторые известные гипотезы, связанные с этой задачей. Другой раздел топологии носит название теории Ходжа. Эта теория объединяет в себе представления, относящиеся к теории уравнений в частных производных, римановой геометрии и топологии. В. Кузьминовым, И. Шведовым и В. Гольдштейном в серии работ было построено некоторое обобщение теории Ходжа, применимое к изучению многообразий с особенностями и многообразий, удовлетворяющих пониженным (в сравнении с обычной теорией Ходжа) требованиям гладкости. Отличие этой обобщенной теории Ходжа, – с точки зрения дифференциальных уравнений, – в том, что эта теория существенно нелинейно.
1. Основные этапы развития топологии
Отдельные результаты топологического характера были получены ещё в 18–19 вв. (теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, классификация поверхностей и теорема Жордана о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части).
В начале 20 в. создаётся общее понятие пространства в Топология (метрическое – М. Фреше, топологическое – Ф. Хаусдорф), возникают первоначальные идеи теории размерности и доказываются простейшие теоремы о непрерывных отображениях (А. Лебег, Л. Брауэр), вводятся полиэдры (А. Пуанкаре) и определяются их так называемые числа Бетти.
Первая четверть 20 в. завершается расцветом общей Топология и созданием московской топологической школы; закладываются основы общей теории размерности (П.С. Урысон); аксиоматике топологических пространств придаётся её современный вид (П.С. Александров); строится теория компактных пространств (П.С. Александров, П.С Урысон) и доказывается теорема об их произведении (А.Н. Тихонов); впервые даются необходимые и достаточные условия метризуемости пространства (П.С. Александров, П.С. Урысон); вводится понятие локально конечного покрытия; вводятся вполне регулярные пространства (А.Н. Тихонов); определяется понятие нерва и тем самым основывается общая теория гомологий.
Под влиянием Э. Нётер числа Бетти осознаются как ранги групп гомологий, которые поэтому называются также группами Бетти. Л.С. Понтрягин, основываясь на своей теории характеров, доказывает законы двойственности для замкнутых множеств.
Во 2-й четверти 20 в. продолжается развитие общей Топология и теории гомологий: в развитие идей Тихонова А. Стоун (США) и Э. Чех вводят так называемое стоун – чеховское, или максимальное, (би) компактное расширение вполне регулярного пространства; определяются группы гомологий произвольных пространств, в группы когомологий вводится умножение и строится кольцо когомологий. В это время в алгебраической Топология царят комбинаторные методы, основывающиеся на рассмотрении симплициальных схем; поэтому алгебраическая Топология иногда и до сих пор называется комбинаторной Топология Вводятся пространства близости и равномерные пространства. Начинает интенсивно развиваться теория гомотопий (Х. Хопф, Понтрягин); определяются гомотопические группы (В. Гуревич, США) и для их вычисления применяются соображения гладкой Топология. Формулируются аксиомы групп гомологий и когомологий. Возникает теория расслоений; вводятся клеточные пространства.
Во 2-й половине 20 в. в СССР складывается советская школа общей Топология и теории гомологий: ведутся работы по теории размерности, проблеме метризации, теории (би) компактных расширений, общей теории непрерывных отображений (факторных, открытых, замкнутых), в частности теории абсолютов; теории так называемых кардинальнозначных инвариантов.
Усилиями ряда учёных окончательно складывается теория гомотопий. В это время создаются крупные центры алгебраической Топология в США, Великобритании и др. странах; возобновляется интерес к геометрической Топология Создаётся теория векторных расслоений и К-функтора, алгебраическая Топология получает широкие применения в гладкой Топология и алгебраической геометрии развивается теория (ко) бордизмов и теория сглаживания и триангулируемости.
В настоящее время Топология продолжает развиваться во всех направлениях, а сфера её приложений непрерывно расширяется.
2. Общая характеристика топологии
Одним из самых неожиданных явлений в развитии математики XX в. Стал головокружительный взлет науки, известной под названием топология.
Топология (от греч. τόπος – место и λόγος – слово, учение) – раздел геометрии, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость.
Желая пояснить, что такое топология, иногда говорят, что это «геометрия на резиновой поверхности». Это малопонятное и туманное описание позволяет, тем не менее уловить суть предмета. Топология изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях. Непрерывные преобразования характеризуются тем, что точки, расположенные «близко одна к другой» до преобразования, остаются такими и после того, как преобразование закончено. При топологических преобразованиях разрешается растягивать и изгибать, но не разрешается ломать и рвать. (однако, с одной оговоркой: когда речь идет о преобразованиях, нас не интересует, что происходит в процессе этих преобразований, важны только начальное положение и конечный результат. Поэтому допускаются, скажем, разрезы по каким-то линиям, которые потом склеиваются по тем же линиям. Например, если шнурок завязан узлом и его концы соединены, можно разрезать его где-то, развязать узел и снова соединить на месте разреза).
Топологию можно подразделить на три области:
1) комбинаторную топологию, изучающую геометрические формы посредством их разбиения на простейшие фигуры, регулярным образом примыкающие друг к другу;
2) алгебраическую топологию, занимающуюся изучением алгебраических структур, связанных с топологическими пространствами, с упором на теорию групп;
3) теоретико-множественную топологию, изучающую множества как скопления точек (в отличие от комбинаторных методов, представляющих объект как объединение более простых объектов) и описывающую множества в терминах таких топологических свойств, как открытость, замкнутость, связность и т.д. Разумеется, такое деление топологии на области в чем-то произвольно; многие топологи предпочитают выделять в ней другие разделы.
Какого рода свойства являются топологическими? Ясно, что не те, которые изучаются в обычной евклидовой геометрии. Прямолинейность не есть топологическое свойство, потому что прямую линию можно изогнуть и она станет волнистой. Треугольник – тоже не является топологическим свойством, ибо треугольник можно непрерывно деформировать в окружность.
Итак, в топологии треугольник и окружность – одно и то же. Длины отрезков, величины углов, площади – все эти понятия изменяются при непрерывных преобразованиях, и о них следует забыть. Очень немногие привычные понятия геометрии годятся для топологии, поэтому приходится искать новые. Этим топология трудна для начинающих, пока они не постигнут сути дела.