В качестве примеров вывода формул в натуральном узком исчислении предикатов рассмотрим вывод аксиом e),f), а также формул (37), (38).
е) "х F(х)® F(у)
Доказательство:
1) "х F(х) {Допущение}
F(у) {У": 1}
f) F(у) ®$х F(х)
Доказательство:
1) F(у) {Допущение}
$х F(х) {В$: 1}
Докажем формулу (37):
р®"х (рÚ F(х))
Доказательство:
1) р {Допущение}
2) рÚ F(х) {ВД: 1}
"х рÚ F(х) {В": 2}
Докажем теперь формулу (38):
"х F(х) ®$х F(х)
Доказательство:
1) "х F(х) {Допущение}
2) F(у) {У": 1}
$х F(х) {В$: 2}
5. ПОГРУЖЕНИЕ АРИСТОТЕЛЕВСКОЙ СИЛЛОГИСТИКИ В УЗКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ
В логике Аристотеля и его последователей вплоть до конца ХІХ столетия основная роль приписывалась четырем видам суждений, называемым категорическими А, Е, I, О. Символические суждение А «Все S суть Р» записывается так:
"х (S(х) ®Р(х)) (39)
Суждение Е «Никакое S не есть Р» :
`$х (S(х) Ù Р(х)) (40) или по другому "х (S(х) ®`R(х)) (401 )
Суждение I «Некоторые S суть Р»:
$х (S(х) Ù Р(х)) (41)
Суждение О «Некоторые S не суть Р»:
$х (S(х) Ù`R(х)) (42)
Докажем некоторые модусы непосредственных умозаключений.
Модус АSР® ISР, пользуясь (39)-(42) запишем так:
"х (S(х) ®Р(х)) ®$х (S(х) Ù Р(х)) (43)
Доказательство:
1) "х (S(х) ®Р(х)) {Допущение}
2) S(у) ®Р(у) {У": 1}
3) S(у) {Допущение}
4) Р(у) {ПО: 2,3}
5) S(у) ÙР(у) {ВК: 3,4}
$х (S(х) Ù Р(х)) {В$: 5}
Модус ЕSР®ОSР опять-таки с помощью (39-42) записываем так:
"х (S(х) ®`R(х)) ®$х (S(х) Ù`R(х)) (44)
Доказательство:
1) "х (Sх ®`R(х)) {Допущение}
2) "х (S(х) ®`R(х)) ®(S(у) ®`R(у)) {подстановка в аксиому е)}
3) S(у) ®`R(у) {ПО: 1,2}
4) S(у) {Допущение}
5) `R(у) {ПО: 3,4}
6) S(у) Ù`R(у) {ВК: 4,5}
$х S(х) Ù`R(х) {В$: 6}
Модус АSР® IРS записываем в виде:
"х (Sх ®R(х)) ®$х (S(х) ÙR(х)) (45)
Доказательство:
1) "х (S(х) ®R(х)) {Допущение}
2) "х (S(х) ®R(х)) ®(S(у) ®R(у)) {подстановка в аксиому е)}
3) S(у) ®R(у) {ПО: 1,2}
4) S(у) {Допущение}
5) R(у) {ПО: 3,4}
6) S(у) ÙR(у) {ВК: 4,5}
$х S(х) ÙR(х) {В$: 6}
Аналогично записываются и доказываются остальные модусы непосредственных умозаключений.
Докажем теперь справедливость некоторых модусов силлогизмов.
Используя (39)-(42), записываем первый модус первой фигуры силлогизма АМРÙАSМ®АSР так:
"х (М(х)®Р(х)) Ù"х (S(х) → М(х)) →"х(S(х) →Р(х)) (46)
Доказательство:
1) "х (М(х)®Р(х)) Ù"х (S(х) → М(х)) {Допущение}
2) "х (М(х)®Р(х)) {УК: 1}
3) "х (S(х) → М(х)) {УК: 1}
4) М(у)®Р(у) {У": 2}
5) S(у) ® М(у) {У": 3}
6) S(у) ® Р(у) {(29): 4,5}
"х(S(х) →Р(х)) {В": 6}
Докажем справедливость первого модуса второй фигуры силлогизма
ЕРМÙ АSМ→ЕSР.
Используя (39)-(42), записываем его в виде:
"х (Р(х) ®`М(х)) Ù"х (S(х) → М(х)) →"х(S(х) →`Р(х)) (47)
Доказательство:
1) "х (Р(х) ®`М(х)) Ù"х (S(х) → М(х)) {Допущение}
2) "х (Р(х) ®`М(х)) {УК: 1}
3) "х (S(х) → М(х)) {УК: 1}
4) Р(у)®`М(у) {У": 2}
5) S_ (у) ® М(у) {У": 3}
6) `М(у)®`Р(у) {(30): 4}
7) М(у)®`Р(у) {(9): 6}
8) S (у)®`Р(у) {(29): 5,7}
"х(S(х) →`Р(х)) {В": 8}
Наконец, докажем первый модус третьей фигуры силлогизма
АМРÙАSМ→ІSР.
Используя (39)-(42), записываем его в виде:
"х (М(х)®Р(х)) Ù"х (М(х)→S(х)) →$х(S(х) Ù Р(х))
Доказательство:
1) "х (М(х)®Р(х)) Ù"х (М(х)→S(х)) {Допущение}
2) "х (М(х)®Р(х)) {УК: 1}
3) "х (М(х)→S(х)) {УК: 1}
4) М(у)® Р(у) {У": 2}
5) М(у)® S (у) {У": 3}
6) М(у) {Допущение}
7) S (у) {ПО: 5,6}
8) Р(у) {ПО: 4,5}
9) S (у) ÙР(у) {ВК: 7,8}
$х(S(х) Ù Р(х)) {В$: 9}
6. РАСШИРЕННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ
В узком исчислении предикатов переменные являются пропозициональные переменные, именные переменные и переменные представляющие предикаты. В формулах этого исчисления кванторы связывают только именные переменные. Это исчисление явно не завершено. Например, формула "R"х (Р(х)ÚР(х)) выполняется для любого предиката Р. значит, мы должны располагать квантором общности для предиката. С другой стороны формула "хF(х) явно не общезначима. Но она выполняется для некоторых F. Чтобы выразить это мы должны располагать и кванторами существования для предиката, и выполнимость этой формулы записать так: $F "хF(х).
Исчисление предикатов, получаемое посредством применения квантора общности и квантора существования не только к предметным переменным, но и к переменным предикатам, принято называть расширенным исчислением предикатов. Очевидно, что все правила узкого исчисления предикатов распространяются как на расширенное исчисление предикатов, так и на любую систему, получаемую присоединением к расширенному исчислению предикатов каких угодно аксиом и новых правил образования истинных формул. Справедливость этого ясна, так как все аксиомы и правила вывода исчисления предикатов, на основании которых выведены производные правила, во всех случаях сохраняются.
Смешение символов для разных формул не может произойти, так как из контекста, обычно, видно, в каком формализме выводится та или иная формула.
Расширенное исчисление предикатов и полученные из него некоторые системы посредством добавления к его аксиомам аксиом специальной структуры дали возможность получить очень важные результаты в теории множеств, геометрии, арифметике, теории алгоритмов и во многих других областях. Однако как показали К. Гедель и др., проблема разрешимости в таких системах становится очень запутанной. И все дело в том, что, формализуя словесный оборот «все» с помощью квантора " мы пытаемся заключить бесконечное в конечные рамки. Но при этом мы можем рассчитывать лишь на частный успех.
Алгоритмическая неразрешимость расширенного исчисления предикатов, формализованной теории множеств, формализованной арифметики и других формальных систем лишний раз доказывает, что математика не является нанизыванием силлогизмов в направлении, избранном наугад. Алгоритмическая неразрешимость показывает, что математическое исследование включает в себя интуицию, догадку, воображение и другие элементы творчества!
Литература
1. Логическое суждение. Руфулаев О.Н. К. – 2005 г.
2. Логика – исскуство мышления. Тимирязев А.К.– К. 2000 г.
3. Философия и жизнь – журнал- К. 2004 г.
4. История логики и мышления – Касинов В.И. 1999.
5. Логика и человек – М. 2000.
6. Философия жизни. Матюшенко В.М. – Москва – 2003 г.
7. Философия бытия. Марикова А.В. – К. 2000 г.