Классическое определение вероятности (стр. 2 из 2)
Теория вероятностей возникла в XVII веке при анализе различных азартных игр. Неудивительно поэтому, что первые примеры носят игровой характер. От примеров с игральными кубиками перейдем к случайному вытаскиванию игральных карт из колоды.
Пример 2. Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них нет пиковой дамы?
Решение. У нас имеется множество из 36 элементов. Мы производим выбор трех элементов, порядок которых не важен. Значит, возможно получение N=C
исходов. Будем действовать по классической вероятностной схеме, т. е. предположим, что все эти исходы равновероятны.Среди всех N=C
исходов нам следует сосчитать те, в которых нет пиковой дамы (событие А). Отложим даму пик в сторону, и из оставшихся 35 карт будем выбирать 3 карты. Получатся все интересующие нас варианты. Значит, N(A)=C 
.Осталось вычислить нужную вероятность по классическому определению:
Р(А)=
= 
= 
* 
= 
Ответ:
А чему равна вероятность того, что среди выбранных трех карт есть пиковая дама? Число всех таких исходов нетрудно посчитать, надо просто из всех исходов N вычесть все те исходы, в которых дамы пик нет, т. е. вычесть найденное в примере 3 число N(A). Затем эту разность N—N(A) в соответствии с классической вероятностной схемой следует поделить на N. Вот что получим:
Мы видим, что между вероятностями двух событий имеется определенная связь. Если событие А заключается в отсутствии дамы пик, а событие В состоит в ее наличии среди выбранных трех карт, то
Р(В)= 1—Р(А),
Р(А)+Р(В)=1.
К сожалению, в равенстве Р(А)+Р(В)=1 нет никакой информации о связи событий А и В между собой; эту связь нам приходится держать в уме. Удобнее было бы заранее дать событию В название и обозначение, явно указывающие на его связь с А.
Определение 1. Событие В называют противоположным событию А и обозначают В=Ā, если событие В происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.
Теорема 1. Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: Р(Ā)= 1—Р(А). В самом деле,
Р(Ā)=
= 
На практике вычисляют то, что проще найти: или Р(А), или Р(Ā). После этого пользуются формулой из теоремы и находят, соответственно, или Р(Ā)= 1—Р(А), или Р(А)= 1—Р(Ā).
Часто используется способ решения той или иной задачи «перебором случаев», когда условия задачи разбиваются на взаимоисключающие друг друга случаи, каждый из которых рассматривается отдельно. Например, «направо пойдешь—коня потеряешь, прямо пойдешь—задачу по теории вероятности решать будешь, налево пойдешь—…». Или при построении графика функции у=│х+1│—│2х—5│расматривают случаи х< -1; -1 ≤ х < 2,5; 2,5 ≤ х. В каждом из трех случаев «раскрывают» модуль, строят нужные графики линейных функций и затем объединяют соответствующие части этих графиков; фактически речь идет о построении графика кусочной функции. Этот же метод часто используют и при подсчете вероятностей.
Пример 3. Из 50 точек 17 закрашены в синий цвет, а 13—в оранжевый цвет. Найти вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется закрашенной.
Решение. Всего закрашено 30 точек из 50. Значит, вероятность равна
= 0,6.Ответ: 0,6.
Рассмотрим, однако, этот простой пример более внимательно. Пусть событие А состоит в том, что выбранная точка—синяя, а событие В состоит в том, что выбранная точка—оранжевая. По условию, события А и В не могут произойти одновременно.
Обозначим буквой С интересующее нас событие. Событие С наступает тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В. Ясно, что N(C)= N(A)+N(B).
Поделим обе части этого равенства на N—число всех возможных исходов данного опыта; получим
Р(С)=
= 
Мы на простом примере разобрали важную и часто встречающуюся ситуацию. Для нее есть специальное название.
Определение 2. События А и В называют несовместными, если они не могут происходить одновременно.
Теорема 2. Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.
При переводе этой теоремы на математический язык, возникает необходимость как-то назвать и обозначить событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из двух данных событий А и В. Такое событие называют суммой событий А и В и обозначают А+В.
Если А и В несовместны, то Р(А+В)= Р(А)+Р(В).
В самом деле,
Р(А+В)=
Несовместность событий А и В удобно иллюстрировать рисунком. Если все исходы опыта—некоторое множество точек на рисунке, то события А и В—это некоторые подмножества данного множества. Несовместность А и В означает, что эти два подмножества не пересекаются между собой. Типичный пример несовместных событий—любое событие А и противоположное событие Ā.
Разумеется, указанная теорема верна и для трех, и для четырех, и для любого конечного числа попарно несовместных событий. Вероятность суммы любого числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Это важное утверждение как раз и соответствует способу решения задач «перебором случаев».
Между событиями, происходящими в результате некоторого опыта, и между вероятностями этих событий могут быть какие-то соотношения, зависимости, связи и т. п. Например, события можно «складывать», а вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.
В заключение обсудим следующий принципиальный вопрос: можно ли доказать, что вероятность выпадения «решки» при одном бросании монеты равна
Ответ отрицательный. Вообще говоря, сам вопрос не корректен, неясен точный смысл слова «доказать». Ведь доказываем мы что-либо всегда в рамках некоторой модели, в которой уже известны правила, законы, аксиомы, формулы, теоремы и т. п. Если речь идет о воображаемой, «идеальной» монете, то потому-то она и считается идеальной, что, по определению, вероятность выпадения «решки» равна вероятности выпадения «орла». А, в принципе, можно рассмотреть модель, в которой вероятность выпадения «решки» в два раза больше вероятности выпадения «орла» или в три раза меньше и т. п. Тогда возникает вопрос: по какой причине из различных возможных моделей бросания монеты мы выбираем ту, в которой оба исхода бросания равновероятны между собой?
Совсем лобовой ответ таков: «А нам так проще, понятнее и естественнее!» Но есть и более содержательные аргументы. Они приходят из практики. В подавляющем большинстве учебников по теории вероятностей приводят примеры французского естествоиспытателя Ж. Бюффона (XVIII в.) и английского математика-статистика К. Пирсона (конец XIX в.), которые бросали монету, соответственно, 4040 и 24000 раз и подсчитывали число выпадений «орла» или «решки». У них «решка» выпала, соответственно, 1992 и 11998 раз. Если подсчитать частоту выпадения «решки», то получится
= =0,493069… у Бюффона и 
= 0,4995 у Пирсона. Возникает естественное предположение, что при неограниченном увеличении числа бросаний монеты частота выпадения «решки», как и частота выпадения «орла», все больше и больше будет приближаться к 0,5. Именно это предположение, основанное на практических данных, является основой выбора в пользу модели с равновероятными исходами.Сейчас можно подвести итоги. Основное понятие—вероятность случайного события, подсчет которой производится в рамках простейшей модели—классической вероятностной схемы. Важное значение и в теории, и в практике имеет понятие противоположного события и формула Р(Ā)= 1—Р(А) для нахождения вероятности такого события.
Наконец, мы познакомились с несовместными событиями и с формулами.
Р(А+В)= Р(А)+Р(В),
Р(А+В+С)= Р(А)+Р(В)+Р(С),
позволяющими находить вероятности суммы таких событий.
Список литературы
1.События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп. параграфы к курсу алгебры 7—9 кл. общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов.—4-е изд.—М.: Мнемозина, 2006.—112 с.: ил.
2.Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк «Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей».—Москва, «Просвещение», 2006.