Смекни!
smekni.com

Комплексные числа: их прошлое и настоящее (стр. 3 из 3)

Выберем теперь число α так, чтобы выражение в квадратных скобках 2αy2-qy+(αp+α2+p2/4-r) стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т.е. чтобы q2-8α(αp+α2+p2/4-r)=0, или 8α3+8pα2+8α(p2/4-r)-q2=0. Таким образом, для нахождения α получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве «α» взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно «у».

V.Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.

1. Вычислить: ii2i3…i10=?

Решение: ii2i3…i10=i1+2+…+10=i11∙10/2=i55=ii54=i(i2)27=i(-1)27=-i.

2. Каков геометрический смысл выражений: а) |z|, б)Argz; в) |z1-z2|, г) Arg(z1/z2)?

Ответ: а) расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число z;

б) угол, на который нужно повернуть действительную ось до совпадения с направлением вектора 0М, изображающего комплексное число z;

в) |z1-z2|- расстояние между точками z1 и z2, изображающими комплексные числа z1 и z2;

г) Arg(z1/z2) – угол между изображающими векторами 0z1 и 0z2.

3. Доказать, что cos3φ=cos3φ-3sin2φcosφ; sin3φ=3cos2φsinφ-sin3φ.

Доказательство: по формуле Муавра имеем: cos3φ+isin3φ=(cosφ+isinφ)3=(cos3φ-3cosφsin2φ)+(3cos2φsinφ-sin3φ) , приравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, что cos3φ=cos3φ-3sin2φcosφ, sin3φ=3cos2φsinφ- sin3φ.

4. Найти действительные решения уравнения (3+i)x+(-5+2i)y=4+16i.

Решение: (3x-5y)+i(x+2y)=4+16i

3x-5y=4

x+2y=16 x=8; y=4.

Ответ: z=8+4i.

5. Доказать тождество |z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2) и вычислить его геометрический смысл.

Доказательство: |z1+z2|2+|z1-z2|2= (z1+z2)( z1+z2)+( z1-z2)( z1-z2)= (z1+z2)( z1+z2)+ +( z1-z2)( z1-z2)=2 z1z1+2 z2z2=2(|z1|2+|z2|2).

Геометрический смысл: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма.

6. Найти геометрическое место точек:

а) |z-z0|=R; б) z=z0+Reit (0≤t<2π)

Ответ: Окружность радиуса R с центром в z0.

в) |z-3i|=|z+2|;

г) |z+i|=|z-3|=|z-1-i|;

д) |z|≤R

π/4≤argz≤5π/4

Решение:

в) точка z должна быть удалена на такое же расстояние от точки z1=-2, как и от точки z2=3i, т.е. должна находиться на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ. Следовательно, искомое геометрическое место точек – это прямая, проходящая через точку С (хсс), где хс=(-2+0)/2=-1; ус=(3+0)/2=3/2, перпендикулярная отрезку АВ.

г) Рассматривая попарно направленные равенства |z+i|=|z-3| и |z-3|=|z-1-i|, приходим к заключению, что искомое множество точек – это множество точек пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к отрезкам АВ и ВС (а также и к АС).

д) Верхний полукруг, ограниченный лучами argz=π/4 и argz=5π/4 и окружностью |z|=R, не содержащий (∙) z=0.

7. Доказать тождество:

(2x-z)2+(2x-z)2=2Re(z2).

Доказательство:

1) (2x-z)2+(2x-z)2= 4x2-4xz+z2+4x2-4xz+z2=8x2-4x(z+z)+z2+z2=8x2-4x2x+(z+z)2-

-2zz=(2x)2-2|z|2=4x2-2(x2+y2)=2(x2+y2)=2Re(z2).

2) 2Re(z2)=2Re(x+iy)2=2Re(x2-y2+2ixy)=2(x2-y2).

8. Решить систему уравнений

(3-i)z1-(4+2i)z2=1+3i;

(4+2i)z1+(2+3i)z2=7.

Решение: Применим правило Крамера:

∆= (3-i)-(4+2i) =(2+3i)(3-i)+(4+2i)2 =21+23i

(4+2i)+(2+3i)

z1= (1+3i)-(4+2i) =(2+6i+3i-9)+28+14i =21+23i

7 (2+3i)

z2= (3-i) (1+3i) =21-7i-4-2i-12i+6 =23-21i

(4+2i) 7

Z1= 21+23i =1; z2= 23-21i =-i(21+23i) =-i

21+23i 21+23i 21+23i

Ответ: z1=1; z2=-i.

9. Доказать, что (а2+1)(b2+1)(c2+1) можно представить в виде суммы квадратов целых чисел (a,b,c – целые числа).

Доказательство: заметим, чтоа2+1=|a+i|2, тогдаимеем: (а2+1)(b2+1)(c2+1)=(a+i)(a-i)(b+i)(b-i)(c+i)(c-i)=(a+i)(b+i)(c+i)(a+i)(b+i)(c+i)= =((ab-1)+i(a+b))(c+i)((ab-1)+i(a+b))(c+i)=(((ab-1)c-a-b)+i((a+b)c+ab-1))((ab-1)c-a-b+i((a+b)c+ab-1)=(abc-(a+b+c))2+(ab+bc+ca-1)2.

10. Найтисуммы:

С=cosφ+cos2φ+…+cosnφ; S=sinφ+sin2φ+…+sinnφ.

Решение: найдем сумму σ=с+iS=(e+e2+…+einφ) и выделим действительную и мнимую ее части, т.е. С=Reσ; S=Imσ. Последовательно имеем: e+e2+…+einφ= e((1- einφ)/(1- e))= (e(1- einφ) (1- e-))/( (1- e) (1- e-))= =(e-1- e(n+1)+ einφ)/|1- e|2.

Поскольку |1- e|2=|(1-cosφ)-isinφ|2=(1-cosφ)2+sin2φ=4sin2(φ/2);

Re(e-1- eiφ(n+1)+ einφ)= cosφ-1-cos(n+1)φ+cosnφ= =- 2sin2(φ/2)+2sin(φ/2)sin(nφ+φ/2)= 2sin(φ/2)2sin(nφ/2)cos((n+1)φ)/2 и Im(e-1- eiφ(n+1)+ einφ)=sinφ-sin(n+1)φ+sinnφ=2sin(φ/2)(cos(φ/2)-cos(nφ+φ/2))= =2sin(φ/2)2sin(nφ/2)sin(((n+1)φ)/2), тоС=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin2(φ/2)) = =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/ sin(φ/2);

S=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin2(φ/2)) = =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/ sin(φ/2)

11. Найтисумму 1+eπcosπ+ecos2π+…+ecosnπ.

Решение: Рассмотрим функцию

S(x)=1+excosx+e2xcos2x+…+enxcosnx и найдем ее значение при х=π.

В свою очередь, при нахождении суммы S(x) перейдем к комплексным числам:

σ(z)=1+ex+ix+e2x+i2x+…+enx+inx= 1+ex(1+i)+e2x(1+i)+…+enx(1+i)=(1-( ex(1+i))n+1)/(1- ex(1+i))= =1-ex(n+1)(1+i)/(1-ex(1+i))=((1-ex(n+1)(1+i))(1-ex(1-i))/((1-ex(1+i))(1-ex(1-i))) =(1- ex(n+1)(1+i)- ex(1-i)+ex(n+2+ni))/|1- ex(1+i)|2=

=(1-e(n+1)xei(n+1)x-exe-ix+e(n+2)xexni)/(1-2excosx+e2x)

т.к. S(x)=Reσ(z), то получаем формулу:

S(x)=1+excosx+e2xcos2x+…+enxcosnx=(1-e(n+1)xcos(n+1)x+e(n+2)xcosnx-excosx)/(1-2excosx+e2x)

Отсюда следует, что искомая сумма равна:

S(π)=1+eπcosπ+e2πcos2π+…+ecosnπ= (1+eπ+eπ(n+2)(-1)n-e(n+1)(-1)n+1)/(1+2eπ+e)= =((1+eπ)+(-1)neπ(n+1)(eπ+1))/(eπ+1)2=(1+(-1)neπ(n+1))/(1+eπ)

12. Доказать, что Re(z-1)/(z+1)=0 |z|=1.

Доказательство:

Т.к. (z-1)/(z+1)=((z-1)(z+1))/((z+1)(z+1))=(zz+z-z-1)/|z+1|2=((|z|2-1)+2iy)/|z+1|2; то Re(z-1)(z+1)=0, если только |z|2-1=0 |z|=1.

13. Найти все значения корня 4√1+i√3. Дать геометрическую иллюстрацию.

Решение:

z=4√1+i√3=4√a, где a=1+i√3.

Т.к. а=r(cosφ+isinφ)=2(cosπ/3+isinπ/3), то zk=4√2(cos(π/3+2Kπ)/4+isin(π/3+2Kπ), где К=0,1,2,3.

Получаем:

Z0= 4√2(cosπ/12+isinπ/12); z1=4√2(cos7π/12+isin7π/12);

Z2=4√2(cos13π/12+isin13π/12); z4=4√2(cos19π/12+isin19π/12).

14. Представить в алгебраической форме комплексное число 1/(1+i√3)6-1/(√3-i)6 =z

Решение: преобразуем данное число:

Z=((1-i√3)/((1+i√3)(1-i√3)))6-((√3+i)/((√3-i)(√3+i)))6= =(1-i√3)6/|1+i√3|12-(√3+i)6/|√3+i|12=z1-z2=(т.к. |z1|=|z2|=2; φ1=-π/3; φ2=π/6, то)=1/26∙26(cos(-π/3)+isin(-π/3))6-1/26∙26(cosπ/6+isinπ/6))6= =cos(-2π)+isin(-2π)-cosπ-isinπ=1-(-1)=2.

VII. Литература.

VIII.

1. Кураш А.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., «Наука», 1983.

2. Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения». М., «Физматгиз», 1960.

3. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 1969.

4. Яглом И.И. « Комплексные числа и их применение в геометрии». М., Физматгиз, 1963.

5. Справочник по элементарной математике (для поступающих в ВУЗы) под редакцией Фильчакова П.Ф. «Наукова Думка», Киев – 1972.