Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах (стр. 2 из 3)
Как видим, мы имеем дело с ядром вида exp(-|x|).Найдем его Фурье-образ, и далее, функцию L(k):
- является аналитической в области -1 < Im(k) < 1. Разложим ее как частное двух так:
При 0 < λ < 0.5 условия одновременной аналитичности выполняются в полосе µ < Im(k) < 1, при λ > 0.5 условия выполняются в полосе 0 < Im(k) < 1. Эти выводы получаются из изучения особых точек функций L+(k),L-(k). Далее – обе функции растут на бесконечности к по модулю не быстрее многочленов первой степени. Наш полином в числителе – это константа, полином нулевой степени, иначе не выполняется условие сходимости произведения L+U+ ,L-U- .Значит
,и, применяя обратное преобразование Фурье, находим u+(x):
,что верно для
Решение в квадратурах найдено, этот интеграл подлежит простому подсчету. На выходе получим: 
Как видим, решение получено с точностью до константы.
1.3 В общем виде
Изложим метод Винера-Хопфа в общем виде. Возьмем обобщенное уравнение
и поставим задачу: найти функции Ψ1, Ψ2,удовлетворяющие нашему уравнению в полосе
,стремящихся к нулю при 
.A,B,C – аналитические в нашей полосе функции, для ограничения вырожденного случая A,B не равны в полосе нулю. Идею решения такого уравнения мы в основном уже излагали, здесь она немного расширена. Итак, представляем A/B как частное функций L+ ,L- , 
,причем L+ аналитическая в области Im(k) > τ-, L- аналитическая в области Im(k) < τ+ .Подставляя это в уравнение, и приводя к общему знаменателю, получаем:
Теперь, если удается разбить слагаемое, не содержащее Ψ,на два, как
,что будет верно в некоторой подполосе нашей полосы, и сгруппировать идентичные слагаемые, то получаем:
- это чуть более общее равенство, чем то, что мы получали ранее для частного случая. Как и ранее – из сходимости обоих пси к нулю при стремлении k по модулю к бесконечности, сходимости L+ L- не быстрее многочлена степени n, а также учитывая, что существует единственная пси в нашей полосе, составленная из Ψ1, Ψ2, мы получаем следующие соотношения:
Рn(k) – многочлен, коэффициенты которого определяются из доп.условий. Далее – решение будет равно обратному преобразованию Фурье от суммы Ψ1, Ψ2.
Что осталось выяснить, так это саму возможность так раскладывать функции. Приведем нескольку лемм, обосновывающих возможность такой работы с нашими функциями.
Лемма1: Пусть образ F(k) аналитический в полосе
,F(k) равномерно стремится к 0 при |k|-> ∞ Тогда в этой полосе возможно разбиение функции F как 
,F+(k) аналитическая в Im(k)>τ- , F-(k) аналитическая в Im(k)<τ+ .
Доказательство: Рассмотрим систему отсчета так, как это изображено на картинке. Посчитаем значение F(k0) – в точке, лежащей внутри прямоугольного контура abcd.По формуле Коши расписали в интеграл по контуру.Перейдем к пределу A ->∞,и устремим контур к полосе.
Тогда в пределе получаем
,где эти части есть
Каждая функция задана в своей области, а на их пересечении в нашей полосе мы имеем равенство. Что и требовалось доказать, в общем то. Очевидно, что из их сходимости следует и ограниченность F+(k),F-(k) в рассматриваемой полосе.
Лемма2:Пусть функция Ф(k) является аналитической и не равной нулю в полосе
,причем Ф(k) равномерно стремится к 1 при |k|->∞.Тогда 
,где функции Ф+,Ф- соответственно аналитические в 
и 
Доказательство:
Заметим, что для функции
выполнены условия леммы1,значит,мы имеем право ее представить суммой F+ , F- , а Ф – произведением: 
,Ф=Ф+*Ф- .Условия на границы по мнимой оси для функций Ф+,Ф- сохранятся => лемма доказана.
Теперь сделаем еще одно обобщение – покажем, как в общих чертах работает этот метод для неоднородного уравнения
(7) Проводя аналогичные рассуждения, разбивая u(x) на две вспомогательные функции, замечаем, что при выполнении условий для модуля
в полосе
мы можем переходить к образам функций и мы получим 
предварительно разбив F на две. Принимая за функцию L(x) ф-ю
,аналитическую в стандартной полосе
и равномерно стремящуюся к 1 при 
наше алгебраическое уравнение перепишется как 
Далее, точно также разделяем L на две части как
,И L+ - аналитическая в
, L- - аналитическая в 
. По аналогии приводя к общему знаменателю, получаем уравнение на U+,U- : 
При успешном разложении последнего члена как
,где по все той же аналогии D+ и D- аналитические в областях
соответственно, мы записываем решения в виде 
.При этом мы воспользовались той же сходимостью – L+,L- растут не быстрее чем kn, а значит, для выполнения условий необходим полином в числителе.
Как видим, и эта, неоднородная задача, успешно решилась методом Винера-Хопфа. Как таковой, метод основан на некой аналогии разделения переменных – мы разделяем одну функцию на сумму двух, каждая из которых закрывает свою зону комплексной плоскости, и с каждой половиной работаем отдельно.
Метод мы рассмотрели, поняли, как он работает, теперь рассмотрим его конкретное применение – в краевых задачах математической физики.
2. Применение метода Винера-Хопфа
До этого мы рассматривали наш метод для решения интегральных уравнений, однородных и неоднородных, с специальным ядром. Сейчас же рассмотрим уравнение Лапласа и краевую задачу на нем, тем самым обобщив м. В.-Х. и на дифференциальные уравнения в частных производных.
Итак, задача: в верхней полуплоскости найти гармоническую функцию, удовлетворяющую следующим условиям:
Для этого решим к. задачу на уравнении
, 
,и перейдем уже в решении к пределу в нуле по каппа.Разделяя переменные, и применяя метод Фурье, в общем виде находим решение:
,где f(k) - произвольная функция комплексного параметра k,