Смекни!
smekni.com

Решение систем дифференциальных уравнений (стр. 2 из 2)

Эта система может быть представлена дифференциальным уравнением второго порядка относительно переменной

:

,

или относительно переменной

:

.

Характеристическое уравнение

имеет два комплексных корня:
. Общее решение этих уравнений будет:

,

где

– постоянные, которые вычисляются по заданным начальным условиям путем решения системы уравнений:


Несложные преобразования приводят к следующим точным решениям этого уравнения для двух различных наборов начальных условий:

Получим такое же аналитическое решение векторного переходного процесса в форме экспоненциальной функции, используя спектральное разложение матрицы по собственным значениям.

Характеристический полином заданной матрицы имеет вид:

.

Собственные значения матрицы (корни характеристического уравнения) и собственные векторы равны:

Проекторы находим матричным произведением левых и правых собственных векторов. Для этого обратим матрицу

и в качестве левых собственных векторов возьмем ее строки:


Векторное аналитическое решение имеет вид:

Решение совпадает с точным решением уравнений второго порядка.

Для численного построения векторного переходного процесса по заданному векторно-матричному уравнению с использованием Падэ-аппроксимации матричной экспоненты дробно-рациональными выражениями первого, второго и третьего порядков, вычислим сначала эти аппроксимирующие матрицы:


Вектор приближенного решения вычислим по рекуррентной формуле, в которую, для демонстрации влияния на точность результата, поочередно подставим каждое из трех приведенных выше приближений к матричной экспоненте:

:

В таблице помещены численные значения переходных процессов, полученные для трех названных случаев аппроксимации матричной экспоненты вместе с точным аналитическим решением.

t Аналитическоерешение
АппроксимацияПадэ порядка 1
АппроксимацияПадэ порядка 2
АппроксимацияПадэ порядка 3
0 1 1 1 1 1 1 1 1
0.1 1.066 0.3475 1.0670 0.3483 1.0660 0.3475 1.066 0.3475
0.2 1.072 -0.2023 1.0740 -0.2018 1.0720 -0.2023 1.072 -0.2023
0.3 1.029 -0.6434 1.0320 -0.6440 1.0290 -0.6434 1.029 -0.6434
0.4 0.9478 -0.9755 0.9513 -0.9778 0.9478 -0.9755 0.9478 -0.9755
0.5 0.8380 -1.203 0.8420 -1.207 0.8380 -1.203 0.8380 -1.203
0.6 0.7103 -1.335 0.7145 -1.341 0.7102 -1.335 0.7102 -1.335
0.7 0.5737 -1.383 0.5779 -1.391 0.5737 -1.383 0.5737 -1.383
0.8 0.4360 -1.360 0.4398 -1.369 0.4360 -1.360 0.4360 -1.360
0.9 0.3035 -1.280 0.3068 -1.290 0.3035 -1.280 0.3035 -1.280
1.0 0.1814 -1.156 0.1839 -1.167 0.1814 -1.156 0.1814 -1.156

Из сопоставления результатов можно сделать заключение, что аппроксимация экспоненты дробно-рациональной матричной функцией второго порядка позволяет при прочих равных условиях получать решение с 5–6-ю достоверными десятичными знаками.

Численное решение неоднородного дифференциального уравнения в векторно-матричном представлении проведем с прежней однородной частью в уравнении, но применим рекуррентные формулы с интегрированием по методу прямоугольников, трапеций и парабол:

.

Матричная экспонента для рекуррентных формул в данном примере бралась в абсолютно точном аналитическом представлении, полученном для этой матрицы выше (числовое представление для h=0.1):

.

Аналитическое решение в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид:

.

В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе значение (для t=0.1) было получено вычислением с шагом 0.05. Эти первые два значения использовались в качестве начальных значений двух рекуррентных процессов, вычислявших очередные значения с шагом 0.2.

t Точное решение
Интегрирование по формуле прямоугольников Интегрирование по формуле трапеций Интегрирование по формуле парабол
0 1 1 1 1 1 1 1 1
0.1 1.16576 0.328872 1.16422 0.302569 1.16514 0.330031 1.16576 0.328872
0.2 1.26681 -0.271328 1.26234 -0.318851 1.26567 -0.269062 1.26680 -0.271346
0.3 1.31004 -0.785828 1.30176 -0.849621 1.30849 -0.782554 1.31125 -0.802579
0.4 1.30354 -1.20604 1.29100 -1.28147 1.30167 -1.20189 1.30354 -1.20605
0.5 1.25599 -1.52886 1.23917 -1.61178 1.25389 -1.52399 1.25944 -1.55740
0.6 1.17619 -1.75579 1.15542 -1.84257 1.17395 -1.75039 1.17618 -1.75580
0.7 1.07265 -1.89209 1.04854 -1.97973 1.07033 -1.88633 1.07991 -1.92961
0.8 0.953246 -1.94585 0.926640 -2.03193 0.950907 -1.93991 0.953243 -1.94586
0.9 0.825009 -1.92713 0.796891 -2.00986 0.822699 -1.92120 0.837584 -1.97248
1.0 0.693974 -1.84722 0.665412 -1.92534 0.691726 -1.84145 0.693977 -1.84722

Аналогичные формулы построения вычислительных процедур могут быть выведены для уравнений с переменными коэффициентами и нелинейных уравнений. Однако обеспечение устойчивости и точности построения переходных процессов в таких случаях решается для каждой конкретной задачи отдельно.

Литература

1. Бахвалов И.В. Численные методы. БИНОМ, 2008. – 636c.

2. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304c.

3. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 608 с.

4. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Паскаль, Фортран и Бейсик. МП «Раско», Томск, 1991.

5. Пантелеев А.В., Киреев В.И., Пантелеев В.И., Киреев А.В. Численные методы в примерах и задачах. М: Высшая школа, 2004. – 480c.

6. Шевцов Г.С., Крюкова О.Г., Мызникова Б.И. Численные методы линейной алгебры. Учебное пособие. Издательство: ИНФРА-М, 2008.