Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка (стр. 4 из 5)

Таблица 5.2 – Результаты решения задачи Коши методом Рунге-Кутта с непостоянным шагом.

X	u(x)	v(x)
2	4	7,389056099
2,2	4,4	9,025013486
2,4	4,8	11,02317634
2,6	5,2	13,46373796
2,8	5,6	16,44464663
3	6	20,08553669
3,2	6,4	24,53252981
3,4	6,8	29,96409944
3,6	7,2	36,59823348
3,8	7,6	44,701183
4	8	54,59814775

Как видно из полученных таблиц результатов, точность решения в 0.0001 при решении методом Рунге-Кутта с непостоянным шагом достигается всего за 10 шагов, в то время, когда для достижения этой же точности при решении методом Рунге-Кутта 5-го порядка с постоянным шагом требуется около 100 шагов.

Сравнивая полученные результаты с результатами работы программы “Adams3.exe”, приходим к выводу, что неявная схема Адамса третьего порядка достаточно эффективна при численном решении задачи Коши (быстрота, высокая точность решения), однако по своим характеристикам она уступает более совершенным методам, применяющимися в различных математических пакетах.

Заключение

Результатом выполнения курсового проекта является готовый программный продукт, позволяющий решать задачу Коши для системы дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка, демонстрирующий возможности численного решения поставленной задачи с заданной степенью точности.

Готовый программный продукт может найти широкое применение при решении многих прикладных технических программ, а в частности, эффективно использование применённой схемы Адамса 3-го порядка для решения так называемых “жёстких” систем дифференциальных уравнний, для которых существует лишь численное решение.

Данная программа решает заданную пользователем систему дифференциальных уравнений с указанной точностью за минимальный промежуток времени. При этом пользователю предоставляется возможность визуально оценить неточность решения, сравнивая графики полученного и точного решений.

К достоинствам программы можно отнести также удобный пользовательский интерфейс, возможность ввода пользовательских систем дифференциальных уравнений, а также высокая стабильность работы. Однако имеются и некоторые недостатки. К недостаткам программы можно отнести: критичность к вводимым пользователем функций, отсутсвие обработки исключительных событий. Это, естественно, ограничивает возможности программы.

Литература

1. Архангельский А.Я. Программирование в С++ Builder 6. – М.: ЗАО “Издательство БИНОМ”, 2002. – 360 с.

2. Калиткин Н.Н. Численные методы. ¾ М.: Наука, 1978. ¾ 512 с.

3. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. ¾ М.: Наука, 1989. – 432с.

4. Синицын А.К., Навроцкий А.А. Алгоритмы вычислительной математики. - Мн.: БГУИР,2002. – 80 с: ил.

5. Синицин А.К. Программирование алгоритмов в среде BuilderC++. –Мн.: БГУИР, 2004. – 90 с.: ил.

6. Страуструп Бьерн. Язык программирования C++. –М.: ЗАО “Издательство БИНОМ”, 2002. – 1099c.:ил.

7. Шилд Г. Программирование на BorlandC++ для профессионалов— М.:ООО “попурри” ,1999. – 800c.:ил.

Приложения

Приложение 1

Блок-схема алгоритма

Блок-схема решения задачи Коши неявной схемой Адамса 3-го порядка.

Блок-схема алгоритма преобразования строки в обратную польскую запись:

Блок-схема вычисления функций:

Приложение 2

Листинг программы

Главная программа (Unit1.cpp):

//---------------------------------------------------------------------------

#include <vcl.h>

#pragma hdrstop

#include "Unit1.h"

#include "Unit2.h"

#include "math.h"

#include "stdio.h"

#include "Unit3.h"

#include "Unit5.h"

#include "fstream.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

TForm1 *Form1;

char *opz(char *); // ф-ия преобразования в обратную польскую запись;

double fpr(char *str,double u, double v,double x); // обратныйходпольской

int p=1,s=1,j=1,o=0; // записи;

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

: TForm(Owner)

{

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::N5Click(TObject *Sender)

{

Form1->Close();

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button3Click(TObject *Sender)

{

Form1->Close();

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::N7Click(TObject *Sender)

{

Form2->Show();

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::N2Click(TObject *Sender) // очисткаформы

{

Edit1->Clear();

Edit2->Clear();

Edit3->Clear();

Edit4->Clear();

Edit5->Clear();

Edit6->Clear();

Edit7->Clear();

Edit8->Clear();

Edit9->Clear();

Memo1->Clear();

Series1->Clear();

Series2->Clear();

Series3->Clear();

Series4->Clear();

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::FormCreate(TObject *Sender)

{

Edit1->Text="10";

Edit2->Text="1";

Edit3->Text="2";

Edit4->Text="4";

Edit5->Text="0,0001";

Edit6->Text="4";

Edit7->Text=FloatToStrF(exp(2),ffFixed,20,18);

Memo1->Text="результаты программы";

Button1->Show();

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcallTForm1::Button1Click(TObject *Sender) //обработка события нажатия кнопки «выполнить»

{

//---------------------------------------------------------------------------

int nx,np,k,i,n;

double a,b,e,h,d,de,z,x;

double y[2],yp[2],f[2],fm[2],fp[2],fp1[2],fp2[2];

unsigned long int time=GetTickCount();

unsigned long int time1=0;

a=StrToFloat(Edit3->Text);

b=StrToFloat(Edit4->Text);

e=StrToFloat(Edit5->Text);

nx=StrToInt(Edit1->Text);

np=StrToInt(Edit2->Text);

Memo1->Clear();

Memo1->Lines->Add("Входныеданные:");

Memo1->Lines->Add("");

Memo1->Lines->Add("du/dx="+Edit8->Text+";");

Memo1->Lines->Add("dv/dx="+Edit9->Text+";");

Memo1->Lines->Add("Интервал: ["+Edit3->Text+";"+Edit4->Text+"]");

Memo1->Lines->Add("Допустимаяпогрешность: е="+Edit5->Text);

Memo1->Lines->Add("Начальныеусловия:");

Memo1->Lines->Add("u="+Edit6->Text);

Memo1->Lines->Add("v="+Edit7->Text);

Memo1->Lines->Add("Количествошаговсетки: "+Edit1->Text);

Memo1->Lines->Add("Шагвывода: "+Edit2->Text);

Memo1->Lines->Add("");

char *u1 =(char *)malloc(strlen(Edit8->Text.c_str())+1);

char *v1 =(char *)malloc(strlen(Edit9->Text.c_str())+1);

strcpy(u1,Edit8->Text.c_str());

strcpy(v1,Edit9->Text.c_str());

char *u =(char *)malloc(strlen(u1)+1); //динамическое выделение памяти

char *v =(char *)malloc(strlen(v1)+1);

strcpy(u,opz(&(u1[0]))); // преобразование в обратную польскую запись

strcpy(v,opz(&(v1[0])));

do {

h=(b-a)/nx;

x=a;

y[0]=StrToFloat(Edit6->Text);

y[1]=StrToFloat(Edit7->Text);

if(np!=0&&s==0){

Memo1->Lines->Add("Результаты:");

Memo1->Lines->Add("-----------------------------------------------------");

Memo1->Lines->Add(FloatToStrF(x,ffFixed,5,3)+" "+FloatToStrF(y[0],ffFixed,8,4)+" "+FloatToStrF(2*x,ffFixed,8,4)+" "+FloatToStrF(y[0]-2*x,ffFixed,8,4)+" "+FloatToStrF(y[1],ffFixed,8,4)+" "+FloatToStrF(exp(x),ffFixed,8,4)+" "+FloatToStrF(y[1]-exp(x),ffFixed,8,4));

}

Series1->Clear();