Розрахунок типових задач з математичної статистики (стр. 4 из 4)
Перехід до центрованої нормальної величини:
.Функція щільності імовірності для неї:
.Таким чином
.Імовірність попадання випадкової величини X в інтервал (Xi; Xi+1) дорівнює
.Дорівнює площі фігури, обмеженої графіком щільності імовірності, віссю 0X та прямими X=Xi, X=Xi+1.
Тобто можна приблизно вважати ії рівною добутку довжини інтервалу h на значення функції щільності імовірності в середині інтервалу (вищесказане є фактично двосторонньою оцінкою визначеного інтегралу):
,де значення
відповідає середині інтервалу 
.Знаючи теоретичну імовірність Pi, можна буде обчислити теоретичну кількість ni попадань випадкової величини X в і-й інтервал (Xi; Xi+1).
Але це буде дуже приблизна оцінка, бо коректування інтервалів розширило межі інтервалів та збільшило різницю між значеннями функції щільності імовірності в них. Точність цього методу обчислення теоретичних частот буде зростати при зменшенні інтервалу розбиття. Проте, це не можливо без порушення правила розбиття діапазону зміни значень випадкової величини в методі Пірсона. З загальних теоретичних відомостей імовірність попадання випадкової величини X в інтервал (Xi; Xi+1) можна виразити через функцію щільності імовірності
,або через функцію розподілення імовірності
.Для нормованого нормального розподілення функція розподілення імовірності обчислюється через функцію Лапласа (сама функція Лапласа не є функцією розподілення імовірності):
.Значення функції Лапласа затабульовані, або ж їх можна підрахувати за допомогою математичних пакетів прикладних програм. Хоча з досить високою точністю можна й самому підрахувати значення функції Лапласа, використавши наступну наближену формулу (підінтегральну функцію було розкладено в ряд та взято інтеграл):
.Функція розподілення імовірності нормального розподілення пов’язана з функцією Лапласа наступним співвідношенням:
, якщо X>0, 
, якщо X<0.Знову перейдемо в обчисленнях від загальної до центрованої нормальної величини:
.Це зафіксовано у п’ятій строчці Таблиці 4.2. Тоді імовірність попадання випадкової величини X в інтервал (Xi; Xi+1) можна виразити через функцію Лапласа так:
,де значення
- нормована нормальна випадкова величина, що відповідає Xi (результат занесено в шосту строчку Таблиці 4.2). Знаючи теоретичну імовірність Pi0, можна буде обчислити теоретичну кількість ni0 попадань випадкової величини X в і-й інтервал (Xi; Xi+1) з Таблиці 4.2 (і результат занесено у відповідну сьому строчку Таблиці 4.2).Таблиця 4.1 Інтервали розбиття
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| (-5; - 4) | (-4; - 3) | (-3; - 2) | (-2; - 1) | (-1; 0) | (0;1) | (1;2) | (2;3) | (3;4) | (4;5) | (5;6) |
| 1 | 2 | 1 | 14 | 18 | 22 | 25 | 15 | 1 | 0 | 1 |
| 0.01 | 0.02 | 0.01 | 0.14 | 0.18 | 0.22 | 0.25 | 0.15 | 0.01 | 0 | 0.01 |
Таблиця 4.2 Розраховані імовірності
| I | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| (Xi; Xi+1) | (-5; - 1) | (-1; 0) | (0;1) | (1;2) | (2;6) |
| ni | 18 | 18 | 22 | 25 | 17 |
 | 0.18 | 0.18 | 0.22 | 0.25 | 0.17 |
| (ui; ui+1) | (2.8395; 0.2969) | (0.2969; 0) | (0; 0.2969) | (0.2969; 0.9322) | (0.9322; 3.4752) |
| Pi0 | 0.3798 | 0.1179 | 0.1179 | 0.2059 | 0.1760 |
| ni0 | 38 | 12 | 12 | 21 | 18 |
Обчислили значення критерію збіжності Пірсона. В нашому випадку він дорівнюватиме:
.Робимо висновок про збіжність закону розподілення практичних даних та закону розподілення, що відповідає висунутій гіпотезі H0.
Кількість ступенів свободи k = s - 1 - r, де s=5 - число інтервалів розбиття діапазону значень випадкової величини X, r=2 - число параметрів розподілення, що були оцінені за даними вибірки і використовувалися при підрахункові теоретичних ймовірностей (для нормального розподілення це математичне чекання та середньоквадратичне відхилення), дорівнює k = 5 - 3 =2.
За таблицею розподілення
з k ступенями свободи знаходимо 
при α=0.001 (більш точні дані відсутні). Тобто практичні дані узгоджуються з гіпотезою H0 з імовірністю більш ніж 0.999.Висока імовірність узгодженості практичних даних з теоретичними дає підставу перевірити та оцінити потужність критерію (імовірність прийняття альтернативних гіпотез).
Висновки
У виконаній курсовій роботі наведено огляд теоретичних відомостей з курсу Теорії ймовірностей та математичної статистики, визначено алгоритм виконання типових завдань з Теорії ймовірностей. І також виконано розрахунок типової задачі з визначення законів розподілення випадкових величин.
Список літератури
1. В.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. М. - Наука, 1988.
2. В.П. Чистяков. Курс теории вероятностей. М. - Наука, 1982.
3. А.А. Боровков. Теория вероятностей.М. - Наука, 1988.
4. Б.А. Севастьянов. Курс теории вероятностей и математической статистики.М. - Наука, 1982.
5. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций (под редакцией А.А. Свешникова).
6. И.Н. Коваленко, А.А. Филлипов. Теория вероятностей и математическая статистика. М. - Высшая школа, 1988.
7. Е.С. Вентцель. Теория вероятностей. М. - Наука, 1969.
8. И.И. Гихман, А.В. Скороход, М.И. Ядренко. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев - Высшая школа, 1979.
9. И.И. Гихман, А.В. Скороход. Введение в теорию случайных процессов.М. - Наука, 1969.
10. А.Т. Гаврилин, О.Н. Репин, И.П. Смирнов. Задачи по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных процессов. Методическая разработка для студентов дневного отделения радиофизического факультета. Горький, ГГУ, 1983.
11. Г.И. Агапов. Задачник по теории вероятностей. М. - Высшая школа, 1994.
12. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1965.
13. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.
14. Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2001.
15. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, Т.2, 1984.