Свойства бинарных отношений (стр. 2 из 4)
,но такая трактовка ничего нового, по сравнению с понятием подмножества, не дает.
Во-вторых. За исключением крайнего случая, когда отношение есть само декартово произведение
, отношение включает в себя не все возможные кортежи из декартового произведения. Это значит, что для каждого отношения имеется критерий, позволяющий определить, какие кортежи входят в отношение, а какие - нет. Этот критерий, по существу, определяет для нас смысл (семантику) отношения.Действительно, каждому отношению можно поставить в соответствие некоторое логическое выражение
, зависящее от n параметров (n-местный предикат) и определяющее, будет ли кортеж 
принадлежать отношению 
. Это логическое выражение называют предикатом отношения . Более точно, кортеж принадлежит отношению тогда и только тогда, когда предикат этого отношения 
принимает значение "истина". В свою очередь, каждый n-местный предикат задает некоторое n-арное отношение. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между n-арными отношениями и n-местными предикатами.Если это не вызывает путаницы, удобно и отношение, и его предикат обозначать одной и той же буквой. Например, отношение
имеет предикат 
.2. Примеры отношений
2.1 Бинарные отношения (отношения степени 2)
В математике большую роль играют бинарные отношения, т.е. отношения, заданные на декартовом произведении двух множеств
.2.1.1 Отношение эквивалентности
Определение 8. Отношение
на множестве 
называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами: 
для всех 
(рефлексивность)Если
, то 
(симметричность)Если
и 
, то 
(транзитивность)Обычно отношение эквивалентности обозначают знаком
или 
и говорят, что оно (отношение) задано на множестве 
(а не на ). Условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно: 
для всех (рефлексивность)Если
, то 
(симметричность)Если
и 
, то 
(транзитивность)Легко доказывается, что если на множестве
задано отношение эквивалентности, то множество разбивается на взаимно непересекающиеся подмножества, состоящие из эквивалентных друг другу элементов (классы эквивалентности).Пример 1. Рассмотрим на множестве вещественных чисел
отношение, заданное просто равенством чисел. Предикат такого отношения: 
, или просто 
Условия 1-3, очевидно, выполняются, поэтому данное отношение является отношением эквивалентности. Каждый класс эквивалентности этого отношения состоит из одного числа.
Пример 2. Рассмотрим более сложное отношение эквивалентности. На множестве целых чисел
зададим отношение "равенство по модулю n" следующим образом: два числа 
и 
равны по модулю n, если их остатки при делении на n равны. Например, по модулю 5 равны числа 2, 7, 12 и т.д.Условия 1-3 легко проверяются, поэтому равенство по модулю является отношением эквивалентности. Предикат этого отношения имеет вид:
Классы эквивалентности этого отношения состоят из чисел, дающих при делении на n одинаковые остатки. Таких классов ровно n:
[0] = {0, n, 2n, …}
[1] = {1, n+1, 2n+1, …}
…
[n-1] = {n-1, n+n-1, 2n+n-1, …}
2.1.2 Отношения порядка
Определение 9. Отношение
на множестве называется отношением порядка, если оно обладает следующими свойствами: для всех (рефлексивность)Если
и 
, то (антисимметричность)Если
и , то (транзитивность)Обычно отношение порядка обозначают знаком
. Если для двух элементов 
и 
выполняется 
, то говорят, что "предшествует" . Как и для отношения эквивалентности, условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно: 
для всех (рефлексивность)Если
и 
, то (антисимметричность)Если
и 
, то 
(транзитивность)Пример 3. Простым примером отношения порядка является отношение, задаваемое обычным неравенством
на множестве вещественных чисел . Заметим, что для любых чисел и выполняется либо , либо , т.е. любые два числа сравнимы между собой. Такие отношения называются отношениями полного порядка.