Теория и методика обучения математике (стр. 10 из 10)

2. Определение: Два алгебраических выражения называются тождественными, если они принимают равные численные значения при соответственно равных числовых значениях букв и С общей области допустимых значений.

Тождеством называется равенство двух тождественных выражений.

Для алгебраических дробей тождественность расширяется.

П. С. Александров, Калмагоров дают следующие определения. – Равенство между двумя рациональными выражениями будем называть тождественным, если оно справедливо при всех значениях входящих в него букв, кроме тех исключительных случаев, когда одна из сторон равенства (или он сразу) становятся бессмысленными.

Таким образом, в тождественных преобладаниях эта замена одного выражения другим тождественно равных. Смысл его сохраняется и для нового. Тождественные преобразования состоят в применение к данному выражению основных свойств к действию, необходимо обратить внимание на правильное оформление упражнений, на доказательство тождеств, запись может быть двоякой.

Если следует доказать,

, то

1)

2)

т.е. преобразовываем одну часть пока не получим другую или преобразовываем обе части пока не получим одно и тоже выражение в обеих частях.

Основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнение преобразований несет курс алгебры.

На начальном этапе используется не расчлененная система преобразований.

П-р: Решить уравнение

а) 7х-5х=2

б) 7х=2+5х

в) 6+ (2-4у) +5у=3(1-3у)

при а) упрощение при помощи применения тождества ( распределительным законом) т.е. (7-5)х=2

б) сводится к пункту а) по сред-вам равносильных преобразований путем переноса.

в) используется преобразование в первых двух случаев.

Принципиальное значение темы тождественное преобразование состоит в следующем:

Данное алгебраическое выражение преобразуется в более простое тождественное выражение.

Выполняя тождество ученики должны осознать, что эти преобразования не являются самоцелью, а служат для нахождения числовых значений выражений для решения уравнения, для изучения функции.

В начальном или 5 классе вводится понятие буквенного выражения. Выражения содержащие буквы называют буквенным выражением.

Для упрощения выражений используется распределительный закон умножения.

Тождественные выражения и их преобразования основываются на законах арифметических действий.

Н-р: 7*а*с*6=42ас

В 7 классе рассматриваются понятия одночлена, его стандартного вида, коэффициента одночлена, умножение одночленов, а также многочлен и его стандартный вид, сложения и вычитание многочленов, умножение многочлена на одночлен и приведение подобных членов.

При изучении этих тем особое внимание следует уделять оформлению записи в тетрадях.

Учащихся надо приучать записывать в порядке алфавита, это позволяет избежать ошибок, при приведении подобных слагаемых.

Н-р: Записи видо12у2х+3х2у+6ух2-3ху2=9ху2+9х2у=9(ху2+х2у)

При умножении многочлена на многочлен надо приучать учащихся строго соблюдать порядок умножения их членов. Н-р: каждый член первого многочлена последовательно умножать на каждый член другого многочлена, это на позволит пропустить некоторые члены многочлена или не повторить их дважды.

Тождества изучаемые в школе можно разделить на 2 класса; первый состоит из тождества сокращенного умножения, а второй обеими тождествами связывающие арифметические операции и основные элементарные функции.

Формулы сокращенного умножения рассматриваются в 7 классе, как частный случай умножения многочленов.

Рассматриваются формулы разность квадратов, квадрат суммы, квадрат разности, сумму и разность кубов.

Формулы куба разности и куба суммы двух выражений даются для учащихся в упражнениях.

К выводу формул умножения нужно привлекать самих учащихся.

Усвоению формул помогают такие предлагаемые упражнения, прочитать следующие выражения: а+с, а-с, (а+с)2, (а-с)2, ас, 2ас, и т.д.

Еще в процессе изучения темы умножения многочленов можно вывести формулу сокращенного умножения.

Так выполняя многократно умножения двух одинаковых многочленов, учащиеся замечают, какие члены получаются при умножении.

Постепенно можно отвлечься от подробной записи и сразу записать результат умножения, так можно поступать и с другими формулами.

Не следует торопить учащегося запоминать формулы, пусть они ещё раз умножат многочлены, при получении навыков тождественных преобразований учащийся можно выделить три основных этапа:

запоминание алгоритма и его применение.

Применение нового алгоритма к совокупности с ранее известными алгоритмами.

Решение широкого круга задач с использованием нового алгоритма.

Н-р: при изучении формулы разности квадратов рекомендуется выделять следующие этапы:

Применять его к упрощению выражение (с-3)(с+3), (5х+1)(5х-1) и т.д. Чтобы учащиеся поняли, что результат не зависит от порядка множителей и от порядка слагаемых в сумме.

Умение применять формулу (а-с)(а+с) в сочетании с другими тождественными преобразованиями, применением с использованием свойств степени с натуральными показателями.

П-р: (12с2-7а3)(7а3+12с2); (-11р4+9)(9+11р4)

Умение применять форму при решении уравнений, неравенств, и их систем при исследовании функции, задача на делимость и другие.

В этих этапах самым важным является первый этап, где учащимся раскрывается сущность нового алгоритма, создаются основы для его усвоения и правильного применения. Излишне поспешное беглое прохождение первого этапа является основной причиной грубых ошибок в преобразованиях допускаемые учащимися. К ним относятся, например, ошибки вида: 25*73=148

(а+2)2=а2+4

(х+1)2=х2+1

с целью предупреждения подобных ошибок необходимо время от времени предлагать учащимся называть определения свойств, на которые основано выполнение преобразования.

Н-р: если ученик записал (а4)2=а16, то надо не только вспомнить определение, но и сделать подробную запись.

(а4)2=а4а4=(а*а*а*а)(а*а*а*а)=а8

Иногда, чтобы убедить учащихся в ошибочной записи, необходимо использовать числовые подстановки.