Пересечение кривых поверхностей (стр. 1 из 2)

Министерство образования и науки РФ

Управление образования г. Великие Луки

МОУ «лицей №10»

Реферат

по геометрии

Пересечение кривых поверхностей

Ученица 11 «И» класса

Проверила:

Зайцева А.Л.

Великие Луки

2008 г.

СОДЕРЖАНИЕ

I. Введение

II. Пересечение кривых поверхностей

Общие сведения о поверхностях

Общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою

Некоторые особые случаи пересечения одной поверхности другою

III. Заключение

Список используемой литературы

Введение

Мы знаем, что фигурой пересечения двух прямых является точка, также мы знаем, что фигурой пересечения двух плоскостей является прямая. Кривые поверхности тоже пересекаются. И поэтому цель нашей работы – узнать фигуру пересечения кривых поверхностей.

Данная тема является актуальной, поскольку всегда существует интерес к задачам на построение. В школьном же курсе геометрии не рассматриваются кривые поверхности и случаи их пересечения.

Предметом нашего исследования являются фигуры пересечения кривых поверхностей, а объектом нашего исследования являются сами кривые поверхности.

В работе использованы следующие методы:

· работа с научной литературой

· работа со специальной литературой

· анализ

· синтез

Общие сведения о поверхностях

Поверхность – это геометрическое место линии, движущейся в пространстве по определённому закону. Эту линию называют образующей. Она может быть прямой, тогда образованную ей поверхность относят к классу линейчатых. Если образующая – кривая линия, поверхность считают нелинейчатой. Линию, по которой перемещают образующую, называют направляющей. В качестве последней иногда используют след поверхности.

Определителем поверхности называют совокупность условий, задающих поверхность в пространстве.

Поверхность считают заданной, если можно построить проекции любой её образующей. Одну и ту же поверхность можно образовать движением различных линий. Например, сфера образуется вращением окружности вокруг её диаметра.

Рассматриваемые ниже поверхности классифицированы следующим образом.

I. Поверхности вращения линейчатые.

1. Конус.

2. Цилиндр.

3. Однополостный гиперболоид.

II. Поверхности вращения нелинейчатые.

1. Шар.

2. Тор (круговой, параболический, эллиптический).

3. Эллипсоид (вытянутый и сжатый).

4. Поверхность вращения общего вида.

Поверхности вращения линейчатые.

Все поверхности этого класса образованы вращением прямой линии вокруг другой прямой. Две прямые могут занимать относительно друг друга три различных положения. Каждому из них соответствует своя поверхность вращения.

1. Конус образуют вращением прямой ODвокруг пересекающейся с ней оси Z (рис. 2, а). Координатные плоскости XOZи YOZрассекают конус по пересекающимся прямым OD, OE, OK и OF; плоскость XOZ даёт в сечении точку О; плоскость , параллельная XOY, пересекает по окружности (DFEK).

Для построения точки, принадлежащей кривой поверхности, её поверхности располагаем на проекциях линии, лежащей на этой поверхности.

Конус участвует в образовании формы диаграммы направленности антенны, поверхности положения объекта в пространстве, антенны и её облучателя, диффузора громкоговорителя, резонатора, отражателя радиоволн, электроннолучевых трубок и электронных ламп, световода, деталей вакуумных установок и так далее.

2. Цилиндр образуют вращением прямой ЕD вокруг параллельной ей оси Z (рис. 2, б, в)

Рис. 2 б) в)

Плоскости XOZи YOZ пересекают его по параллельным прямым ED, FK, NP, LM, а плоскость XOY и ей параллельные – по окружностям DPKM и (ENFL).

Цилиндр применяют при образовании формы волноводов, антенн, амортизаторов приборов, зеркал лазеров, корпусов датчиков и так далее.

Поверхности вращения нелинейчатые.

К этому классу относят в основном поверхности, образованные вращением кривых второго порядка.

1. Сферу образуют вращением окружности вокруг её диаметра (рис. 4). Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Очерк фронтальной проекции сферы называют главным меридианом, очерк горизонтальной проекции – экватором. Проекции точки К, лежащей на поверхности сферы, принадлежат проекциям горизонтальной окружности, проведённой на сфере.

Сфера образует форму диаграммы направленности антенн, обтекателя и излучателя антенны, головки микрофона, контактов реле и так далее. Сфера является поверхностью положения объекта в пространстве.

2. Круговой тор образуют вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не являющейся её диаметром. Таким образом, сферу можно рассматривать как частный случай тора. Различают тор-кольцо, когда ось вращения не пересекает образующую окружность, и тор-бочку.

В радиотехнике используют также параболический и эллиптический тор.

Параболический тор образуют вращением параболы вокруг прямой, лежащей в плоскости этой параболы и не являющейся её фокальной осью.

Эллиптический тор образуют вращением эллипса вокруг прямой, лежащей в плоскости этого эллипса и не являющейся его осью.

Торовые поверхности имеют диаграммы направленности антенн, поверхности положения объекта в пространстве, антенны и их обтекатели, волноводы, резонаторы, громкоговорители и так далее.

3. Эллипсоид образуют вращением эллипса вокруг его малой или большой оси. В первом случае получают сжатый (рис. 5, а), а во втором – вытянутый эллипсоиды вращения (рис. 5, б).

Рис. 5 а) б)

Плоскости XOZ и YOZ пересекают их по эллипсам DE и EF, а плоскость XOY – по окружности DF.

Форму эллипсоида имеют зеркала антенн и лазеров, излучатели антенн, поверхности положения и так далее.

4. Поверхность вращения общего вида образуют вращением произвольной кривой.

ОБЩИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ДРУГОЮ

Общим способом построения линии пересечения одной поверхности другою является нахождения точек этой линии при помощи некоторых секущих поверхностей (для линий пересечения применяется также название «линии перехода», особенно в тех случаях, когда при переходе от одной поверхности к другой нет ярко выраженного пересечения. Для вспомогательных секущих поверхностей встречается название «посредники»). На рисунке 1 слева показано, что поверхности I и II пересечены некоторой поверхностью III; эта вспомогательная поверхность пересекает поверхность I по линии АВ, а поверхность II – по линии CD. Точка К, в которой пересекаются линии АВ и CD, общая для поверхностей I и II, следовательно, принадлежит линии их пересечения. Повторяя такой приём, получаем ряд точек искомой линии.

Применяя указанный общий способ для построения линии пересечения двух кривых поверхностей, мы можем:

1) пересекать поверхности вспомогательными плоскостями;

2) пересекать поверхности вспомогательными кривыми поверхностями (например, сферами).

РИС. 1

В некоторых случаях при решении задач комбинируют применение вспомогательных плоскостей и кривых поверхностей. Следует по возможности подбирать такие вспомогательные поверхности, которые в пересечении с данными поверхностями дают простые для построения линии (например, прямые или окружности).

В общем случае вспомогательные секущие плоскости применяют и для построения линии пересечения кривой поверхности гранной.

Изложенный общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою не исключает применения другого способа, если хотя бы одна из этих поверхностей линейчатая: найти точку, в которой прямолинейная образующая одной поверхности пересекает другую поверхность, и, повторяя этот приём для ряда образующих, через найденные точки провести искомую линию. На рисунке 1 справа показано, что через образующую SM поверхности I проведена плоскость III, которая пересекает вторую поверхность (II) по кривой CD; образующая SM пересекает эту кривую в точке К, через которую пройдёт искомая линия пересечения поверхностей I и II.

Это относится и к случаю пересечения кривой поверхности гранной: здесь роль образующих играют ребра гранной поверхности.

Итак, для построения точек линии, получающейся на одной поверхности при пересечении её другой поверхностью, пользуются вспомогательными секущими плоскостями частного и общего положения, кривыми поверхностями, прямолинейными образующими кривых линейчатых поверхностей и рёбрами гранных поверхностей. При этом прибегают к способам преобразования чертежа, если это упрощает и уточняет построение.

При построении точек линии пересечения сначала следует найти те точки, которые обычно называют характерными (для них также применяется название «опорные»). Это точки, проекции которых отделяют видимую часть проекции линии пересечения от невидимой, это проекции точек линии пересечения, наивысших и наинизших по отношению к плоскости π1, ближайших и наиболее удалённых по отношению к зрителю, крайних слева и справа на проекциях линии пересечения.

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ДРУГОЮ

1. На рисунке 2 изображены пересекающиеся между собой: а) два цилиндра с параллельными образующими, б) два конуса с общей вершиной. В обоих случаях линиями пересечения поверхностей являются общие образующие этих поверхностей.