Плоские кривые (стр. 6 из 9)
2. Египтяне за 17–20 веков до нашей эры занимались квадратурой круга. Как назывался документ?
3. Кто написал трактат о конических сечениях? (3–2 в. до н.э.)
4. Какой учёный показал, что задача спрямления спирали идентична задаче спрямления параболы?
5. Учёный, решивший задачу о квадратуре сегмента параболы.
6. Как называлась книга Р. Декарта, изданная в 1637 году?
По вертикали
1. Название линии, прошедшей большой исторический период.
III. Итог занятия
1) Домашнее задание
Написать реферат на тему «История изучения плоских кривых».
Занятие №2–3
Тема: Эллипс
В декартовой системе координат, как хорошо известно, окружность радиуса Rc центром C(a; b) задаётся уравнением (x2 – a2) + (y2 – b2) = R2. Если сжать окружность с центром в начале координат к вертикальному диаметру с коэффициентом k> 0, то получится линия с уравнением k2x2 + y2 = R2 (1), которая называется эллипсом. При этом ясно, что если k> 1, то это действительно сжатие в привычном смысле этого слова (рис. 16, а), а если 0 < k< 1, то это растяжение (рис. 16, б). Но договоримся использовать один общий термин – сжатие.
Преобразуем уравнение (1). Разделим его обе части на R2:
всегда.Сделаем замену
и 
, тогда получим уравнение эллипса в общем виде; 
(2). 
Рис. 16
Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса. В школьном курсе изучается уравнение окружности с центром в начале координат
(3).Посмотрим, как связаны окружность и эллипс.
В уравнении (3) сделаем замену
Разделим на R2: 
. Пусть , тогда 
.Итак, мы видим, что окружность – частный случай эллипса, когда а = b.
Отметим ещё, возвращаясь к уравнению (1), что окружность – это эллипс, где k= 1.
Из уравнений видно, что эллипс – линия, симметричная относительно обеих осей координат, а значит, и центрально-симметричная. Геометрически, он полностью характеризуется одним из поперечных размеров (они называются осями эллипса) и их отношением.
Вокруг эллипса естественным образом описывается прямоугольник со сторонами, равными осям эллипса и параллельными координатным прямым, который является результатом сжатия квадрата, описанного вокруг исходной окружности. Называется он осевым прямоугольником эллипса. Если научиться его строить по уравнению эллипса, то довольно легко после этого изобразить и сам эллипс.
1) Например, дано уравнение а) 3х2 + у2 = 7. Изобразить эллипс двумя способами. [16]
I способ
Запишем его в виде
. Устанавливаем, что 
, строим осевой прямоугольник со сторонами 2R, l и изображаем сам эллипс (рис. 17). Отметим, что в правой части уравнения должно быть положительное число, а в левой – сумма квадрата абсциссы, взятого с положительным коэффициентом, и квадрата ординаты. 
Рис. 17
II способ
Приведём уравнение к каноническому виду.
Разделим обе его части на 7.
Получим, что
Строим осевой прямоугольник со сторонами а и 2b, а затем изображаем эллипс.
Отметим, что, например, уравнение 3х2 + 5у2 = 7 следует сначала преобразовать к виду х2 + у2 =
или 
а затем находить R, k иa, b соответственно.Если центр эллипса находится не в начале координат, но его оси параллельны координатным осям, то он задаётся уравнением
(4),где С (а; b) – центр эллипса. Это легко следует из формул параллельного переноса, или каноническим уравнением
(5) – С (х; у) – центр эллипса.Данного материала достаточно для построения эллипса в том случае, если он задан уравнением, содержащем как квадраты, так и первые степени переменных.
б)
I способ
Преобразуем к виду (4):
Это уравнение эллипса с центром в точке С (5; – 4), где k =
(рис. 18) 
Рис. 18
II способ
Преобразуем к виду (5):
. Получили уравнение эллипса с центром в точке С (5; – 4), где а = 3, b = 2.Строим сам эллипс.
2. Найти длины полуосей и координаты фокусов следующих эллипсов:
а)
Приводим уравнение к каноническому виду
, а = 3, b = 2.Фокусы F1 и F2 имеют координаты F1(с; 0) и F2(– с; 0).
Итак, F1(
; 0) и F2( 
; 0) а = 3, b = 2.б)
Решаем аналогично а). 
, а = 3, b = 1.F1(с; 0), F2(– с; 0).
Итак, F1(
; 0) и F2( 
; 0) а = 3, b = 1.в)
, а = 
, b = 
.F1(с; 0), F2(– с; 0):
Итак, а =
, b = , F1( 
; 0), F2(- ; 0).3. Найти координаты точек М, принадлежащих эллипсу
и равноудалённых от фокусов.Пусть М (х; у), тогда МF1 = МF2 (по условию). Т. к. F1(с; 0), F2(– с; 0):
то 
Если х = 0, то, подставляя его в исходное уравнение, получим:
, 
Следовательно, 
и 
.4. Взяв на плоскости прямоугольную декартову систему координат, изобразить области, определяемые следующими системами неравенств.
а)
Построим множество точек, определяемых 1-м, 2-м, 3-м неравенством.