Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа (стр. 5 из 5)

Таким образом, доказано существование

■

Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень

, такой что

и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.

Доказательство. Пусть многочлен f-g не имеет положительных действительных корней, и для всех корней вида

, где , последовательность (**), заданная числамиp и q, содержит отрицательный элемент. Тогда, по теореме 2.3.5, для каждого множителя вида существует многочлен , что . Рассмотрим многочлен . так как и . Кроме того , а остальные множители многочлена имеют вид или . То есть, . Таким образом . По теореме 2.1.1, минимальный многочлен порождает поле. ■

Теорема 2.3.7.Для комплексных чисел

расширение

, минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.

Доказательство. Пусть a' – положительный корень минимального соотношения. Предположим, что

– поле. Тогда существует многочлен fс положительными коэффициентами, делящийся на минимальный многочлен. Значит f(a')=0. Но . Значит a' – не является корнем многочлена f. То есть – полуполе. ■

2.4. Примеры

1. Рассмотрим

. Оно удовлетворяет минимальному соотношению . По теореме 2.3.7, - полуполе. Аналогично доказывается, что – полуполе.

2.

– полуполе. Для доказательства нужно воспользоваться теоремой 2.3.1.

3. Покажем, что

– полуполе. Во-первых, заметим, что . Рассмотрим . По теореме 2.3.7, ‑ полуполе. Тогда, по теореме 2.3.1, – полуполе. . То есть, – полуполе.

4.

, минимальное соотношение которого имеет вид , есть полуполе. Действительно, многочлен имеет положительный корень, а значит - полуполе.

Теперь приведем примеры полей.

5.

является полем, потому что его минимальный многочлен имеет вид .

6. Пусть

удовлетворяет минимальному соотношению . Его минимальный многочлен делит . То есть, – поле. Несложно видеть, что . Итак, .

7. Пусть

удовлетворяет минимальному соотношению . Тогда – поле.

8. Пусть

, если , то – поле. Так как , то Если , то . Рассмотрим последовательность (**), порожденную pи q. . По теореме 2.3.7, – поле.

Литература

1. Вечтомов Е.М. Введение в полукольца. – Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000

2. Вечтомов Е.М. О свойствах полутел // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2001, вып. 3. – Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та. – С. 11-20.

3. Ряттель А.В. Однопорожденные полукольца с делением // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2002, вып. 4.– Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета. – С. 39-45.