Министерство образования и науки РФ
Череповецкий государственный университет
Инженерно-экономический институт
Реферат
Понятие случайного процесса в математике
Выполняла студентка
группы 5 ГМУ-21
Иванова Юлия
Череповец
2009
Содержание
Введение
Основная часть
· Определение случайного процесса и его характеристики
· Марковские случайные процессы с дискретными состояниями
· Стационарные случайные процессы
· Эргодическое свойство стационарных случайных процессов
Литература
Введение
Понятие случайного процесса введено в XX столетии и связано с именами А.Н. Колмогорова (1903-1987), А.Я. Хинчина (1894-1959), Е.Е. Слуцкого (1880-1948), Н. Винера (1894-1965).
Это понятие в наши дни является одним из центральных не только в теории вероятностей, но также в естествознании, инженерном деле, экономике, организации производства, теории связи. Теория случайных процессов принадлежит к категории наиболее быстро развивающихся математических дисциплин. Несомненно, что это обстоятельство в значительной мере определяется ее глубокими связями с практикой. XX век не мог удовлетвориться тем идейным наследием, которое было получено от прошлого. Действительно, в то время, как физика, биолога, инженера интересовал процесс, т.е. изменение изучаемого явления во времени, теория вероятностей предлагала им в качестве математического аппарата лишь средства, изучавшие стационарные состояния.
Для исследования изменения во времени теория вероятностей конца XIX - начала XX века не имела ни разработанных частных схем, ни тем более общих приемов. А необходимость их создания буквально стучала в окна и двери математической науки. Изучение броуновского движения в физике подвело математику к порогу создания теории случайных процессов.
Считаю необходимым упомянуть еще о двух важных группах исследований, начатых в разное время и по разным поводам.
Во-первых, эта работы А.А. Маркова (1856-1922) по изучению цепных зависимостей. Во-вторых, работы Е.Е. Слуцкого (1880-1948) по теории случайных функций.
Оба этих направления играли очень существенную роль в формировании общей теории случайных процессов.
Для этой цели уже был накоплен значительный исходный материал, и необходимость построения теории как бы носились в воздухе.
Оставалось осуществить глубокий анализ имеющихся работ, высказанных в них идей и результатов и на его базе осуществить необходимый синтез.
Определение случайного процесса и его характеристики
Определение: Случайным процессомX(t) называется процесс, значение которого при любом значении аргумента tявляется случайной величиной.
Другими словами, случайный процесс представляет собой функцию, которая в результате испытания может принять тот или иной конкретный вид, неизвестный заранее. При фиксированном t=t0 X(t0) представляет собой обычную случайную величину, т.е. сечение случайного процесса в момент t0.
Примеры случайных процессов:
1.численность населения региона с течением времени;
2.число заявок, поступающих в ремонтную службу фирмы, с течением времени.
Случайный процесс можно записать в виде функции двух переменных X(t,ω), где ω€Ω, t€T, X(t, ω) € ≡ и ω – элементарное событие, Ω - пространство элементарных событий, Т – множество значений аргумента t, ≡ - множество возможных значений случайного процесса X(t, ω).
Реализацией случайного процесса X(t, ω) называется неслучайная функция x(t), в которую превращается случайный процесс X(t) в результате испытания (при фиксированном ω), т.е. конкретный вид, принимаемый случайным процессом X(t), его траектория.
Таким образом, случайный процессX(t, ω) совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента t, случайный процесс превращается в обычную случайную величину, если зафиксировать ω, то в результате каждого испытания он превращается в обычную неслучайную функцию. В дальнейшем изложении опустим аргумент ω, но он будет подразумеваться по умолчанию.
На рисунке 1 изображено несколько реализаций некоторого случайного процесса. Пусть сечение этого процесса при данном tявляется непрерывной случайной величиной. Тогда случайный процесс X(t) при данном t определяется полностью вероятности φ(x‚ t). Очевидно, что плотность φ(x, t) не является исчерпывающим описанием случайного процесса X(t), ибо она не выражает зависимости между его сечениями в разные моменты времени.
Случайный процесс X(t) представляет собой совокупность всех сечений при всевозможных значений t, поэтому для его описания необходимо рассматривать многомерную случайную величину (X(t1), X(t2), …, X(tn)), состоящей из всех сочетаний этого процесса. В принципе таких сочетаний бесконечно много, но для описания случайного процесса удаётся часть обойтись относительно небольшим количеством сочетаний.
Говорят, что случайный процесс имеет порядок n, если он полностью определяется плотностью совместного распределения φ(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn) nпроизвольных сечений процесса, т.е. плотностью n-мерной случайной величины (X(t1), X(t2), …, X(tn)), где X(ti) – сочетание случайного процесса X(t) в момент времени ti, i=1, 2, …, n.
Как и случайная величина, случайный процесс может быть описан числовыми характеристиками. Если для случайной величины эти характеристики являются постоянными числами, то для случайного процесса – неслучайными функциями.
Математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция ax(t), которая при любом значении переменной tравна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса X(t), т.е. ax(t)=М [X(t)].
Дисперсией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция Dx(t), при любом значении переменной tравная дисперсии соответствующего сочетания случайного процесса X(t), т.е. Dx(t)= D[X(t)].
Средним квадратическим отклонением σx(t) случайного процесса X(t) называется арифметическое значение корня квадратного из его дисперсии, т.е. σx(t)= Dx(t).
Математическое ожидание случайного процесса характеризует среднюю траекторию всех возможных его реализаций, а его дисперсия или среднее квадратическое отклонение - разброс реализаций относительно средней траектории.
Введённых выше характеристик случайного процесса оказывается недостаточно, так как они определяются только одномерным законом распределения. Если для случайного процесса Х1(t) характерно медленное изменение значений реализаций с изменением t, то для случайного процесса Х2(t) это изменение проходит значительно быстрее. Другими словами, для случайного процесса Х1(t) характерна тесная вероятностная зависимость между двумя его сочетаниями Х1(t1) и Х1(t2), в то время как для случайного процесса Х2(t) эта зависимость между сочетаниями Х2(t1) и Х2(t2) практически отсутствует. Указанная зависимость между сочетаниями характеризуется корреляционной функцией.
Определение:Корреляционной функцией случайного процесса Х(t) называется неслучайная функция
Kx(t1, t2) = M[(X(t1) – ax(t1))(X(t2) – ax(t2))] (1.)
двух переменных t1 и t2 , которая при каждой паре переменных t1 и t2 равна ковариации соответствующих сочетаний Х(t1) и Х(t2) случайного процесса.
Очевидно, для случайного процесса Х(t1) корреляционная функция Kx1(t1, t2) убывает по мере увеличения разности t2 - t1 значительно медленнее, чем Kx2(t1, t2) для случайного процесса Х(t2).
Корреляционная функция Kx(t1, t2) характеризует не только степень тесноты линейной зависимости между двумя сочетаниями, но и разброс этих сочетаний относительно математического ожидания ax(t). Поэтому рассматривается также нормированная корреляционная функция случайного процесса.
Нормированной корреляционной функцией случайного процесса Х(t) называется функция:
Px(t1, t2) = Kx(t1, t2) / σx(t1)σx(t2) (2)
Пример № 1
Случайный процесс определяется формулой X(t) = Xcosωt, где Х – случайная величина. Найти основные характеристики этого процесса, если М(Х) = а, D(X) = σ2.
РЕШЕНИЕ:
На основании свойств математического ожидания и дисперсии имеем:
ax(t) = M(X cosωt) = cosωt * M(X) = a cosωt,
Dx(t) = D(X cosωt) = cos2ωt * D(X) = σ2 cos2 ωt.
Корреляционную функцию найдём по формуле (1.)
Kx(t1, t2) = M[(X cosωt1 – a cosωt1) (X cos ωt2 – a cosωt2)] =
= cosωt1 cosωt2 * M[(X – a)(X - a)] = cosωt1 cosωt2 * D(X) = σ2 cosωt1 cosωt2.
Нормированную корреляционную функцию найдём по формуле (2.):
Px(t1, t2) = σ2cosωt1 cosωt2 / (σcosωt1)( σcosωt2) ≡ 1.
Случайные процессы можно классифицировать в зависимости от того, плавно или скачкообразно меняются состояния системы, в которой они протекают, конечно (счетно) или бесконечно множество этих состояний и т.п. Среди случайных процессов особое место принадлежит Марковскому случайному процессу.
Теорема. Случайный процесс X(t) является гильбертовым тогда и только тогда, когда существует R(t, t’) для всех (t, t’)€ T*T.
Теорию гильбертовых случайных процессов называют корреляционной.
Заметим, множество Т может быть дискретным и континуальным. В первом случае случайный процесс Хtназывают процессом с дискретным временем, во втором – с непрерывным временем.