Открытые сети с многорежимными стратегиями обслуживания и информационными сигналами (стр. 6 из 7)

что проверяется с помощью простой модификации доказательства леммы 2.2. Заметим, что это условие заведомо выполняется, когда интенсивности переходов с режима на режим

не зависят от состояния узла. Уравнения обратимости для изолированного узла имеют вид:

Из уравнений (4.2.5) находим

Полагая в (4.2.6)

и заменяя на , получим:

откуда

Подставляя это в (4.2.7), имеем:

Из условия нормировки находим, что

В силу теоремы Фостера [82] для эргодичности изолированного узла достаточно выполнения неравенств

Доказательство дословно повторяет то, которое использовалось при доказательстве аналогичного утверждения в 4.1.2, с заменой оценки для

следующей оценкой:

Отметим то обстоятельство, что вторая часть (4.2.10) заведомо имеет место, когда интенсивности переходов с режима на режим не зависят от состояния узла. Заметим также, что второе неравенство в (4.2.10) гарантирует регулярность марковского процесса, описывающего изолированный узел в фиктивной окружающей среде. Это означает, что за конечное время процесс не может сделать бесконечное число переходов из одного состояния в другое (моменты скачков процесса не могут иметь конечной предельной точки).

Теорема 2.2. [45, C.186]

Если для всех

выполняются условия (4.2.4) и (4.2.10), то марковский процесс

эргодичен, а его стационарное распределение имеет форму произведения (4.1.15), где

определяются с помощью соотношений (4.2.8),(4.2.9).

Доказательство. Для доказательства того, что

, определенные в (4.1.15),(4.2.5),(4.2.6), образуют стационарное распределение марковского процесса , достаточно [94,97,103] подобрать функцию которая удовлетворяла бы соотношениям

Если такие

удастся найти (см. [94,97,103]), то окажется, что будут являться инфинитезимальными интенсивностями перехода для обращенной во времени цепи Маркова , а - стационарными вероятностями для и . Положим

для всех остальных состояний

положим . Для функции (4.2.11) действительно выполняется, что легко проверяется подстановкой в него равенств (4.2.1),(4.2.13) и использования (4.2.8),(4.2.9). Остается доказать (4.2.12). Складывая (4.2.13), получим, что

Используя (4.2.3), имеем

Применяя снова (4.2.3), свойства индикаторов и тот факт, что

, получим

Сравнивая полученный результат с (4.2.2), делаем вывод, что

для любого состояния .

Докажем, что при выполнении условий (4.2.10) марковский процесс

эргодичен. Согласно эргодической теореме Фостера [82], для этого достаточно доказать, что существует нетривиальное неотрицательное решение уравнений глобального равновесия

такое, что ряд

сходится. Складывая (4.2.11) по всем , убеждаемся, что является решением (4.2.14). Из (4.2.2) следует, что

Поскольку ряд

распадается в произведение

рядов, каждый из которых сходится в силу условия (4.2.10) как сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы, то и сам он сходится. В силу (4.2.15) будет сходиться ряд