Получается, что понятие истинности действительно не выразимо средствами естественного языка.
Впрочем, это не совсем так. На самом деле доказано только то, что выше описанным способом нельзя выразить утверждение об истинности высказывания A0. Поэтому остается вопрос: "А нельзя ли это сделать каким-либо другим способом?". И вообще, неужели утверждение об истинности или ложности какого-либо конкретного высказывания нельзя сформулировать так, чтобы достоверность этого утверждения не вызывала сомнений?
Ответить на этот вопрос удалось только в начале XX века. К этому времени было осознано, что каждая теория описывает какую-то свою, вполне определенную предметную область и пользуется при этом только такими языковыми средствами, которые для этого необходимы. Если, например, взять арифметику, то ее предметной областью является множество натуральных чисел, а необходимым для описания этой области языком является язык, на котором можно говорить об операциях и отношениях, заданных на множестве натуральных чисел. Как же обстоит дело с "истинностью" арифметических высказываний? Общепринятое определение истинности как соответствия реальному положению дел в данном случае оказывается недостаточно ясным. Во-первых, существуют такие высказывания, непосредственная проверка истинности которых невозможна или весьма затруднительна (это, например, гипотеза о невозможности существования четверок Ферма)
Во-вторых, формализованные теории вообще абстрагируются от практики и выводят свои теоремы из одних только аксиом. В третьих, выяснилось, что даже после уточнения понятия "истинности", множество истинных формул арифметики тем не менее оказывается неописуемым на предметном языке арифметики. Это значит, что понятие "истинности" не выразимо на языке арифметики. Значит, это понятие относится к другому языку.
Таким образом, можно придти к выводу, что в познании существуют два уровня - две иерархические ступени. На первом уровне строится теория, описывающая некоторую предметную область (в данном случае - арифметику). Для описания этой области используется специальный, заранее фиксированный предметный язык. На втором уровне возникает метатеория, предметом исследования которой становится ранее созданная предметная теория первого уровня. В метатеории исследуется, в частности, вопрос об "истинности" высказываний предметной теории. Для этой цели используется специальный метаязык.
Предметный язык и метаязык - это разные языки, это языки, относящиеся к различным иерархическим уровням. Игнорирование этого обстоятельства неминуемо должно привести к противоречиям. Примером может послужить описанный выше парадокс "Лжеца". Покажем, что это действительно так.
С одной стороны, предложение "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно" относится к метаязыку, поскольку в нем говорится о ложности некоторого высказывания.
С другой стороны, поскольку о каком-то высказывании говорится, что оно ложно, то высказывание, ложность которого утверждается, должно относиться к предметному языку. Но в данном случае высказывание утверждает ложность самого себя. Значит, само это высказывание должно относится к предметному языку. Получается, что рассматриваемое предложение относится и к метаязыку, и к предметному языку. Но это же разные языки. Игнорирование этого различия и привело к парадоксу.
Парадокс Греллинга был сформулирован в 1908 году математиками Куртом Греллингом (1886-1941) и Леонардом Нельсоном (1882-1927). В этом парадоксе речь идет о прилагательных. Каждое прилагательное либо само обладает тем свойством, которое оно выражает, либо - нет. Например, прилагательное "русский" (-ая, - ое, - ие) само является русским, а прилагательное "голубой" (-ая, - ое, - ые) само, конечно, голубым не является. Прилагательные первого вида описывают самих себя, т.е. применимы к себе. Такие прилагательные назовем "автологичными". Прилагательные второго вида не применимы к себе, их мы назовем "гетерологическими". Введем теперь обозначения: прилагательные обозначим буквами р, g,..., а выражаемые ими свойства обозначим, соответственно, буквами Р, G,... .
Предложение "Прилагательное р применимо к себе" символически запишется в форме Р (р), а предложение "Прилагательное р не применимо к себе" запишется в форме Р (р). Если относительно некоторого прилагательного р установлено Р (p), то по принятому определению, прилагательное р будет гетерологическим. Обозначив свойство "быть гетерологическим" через G получим: "p (G (p)" (P (p)) (*).
Слово "гетерологический" само тоже является прилагательным. Обозначим это прилагательное буквой g. Тогда при р=g из условия (*) получим противоречие: (g)"G (g).
Это противоречие снимается, если учесть, что первоначально мы имели только прилагательные некоторого предметного языка, которые классифицировались на автологические и гетерологические; прилагательное же "гетерологический" появилось только при описании этой классификации и, значит, относится к метаязыку. Поэтому в условии (*) квантор общности имел смысл "для всех прилагательных предметного языка" и подстановка р=g была неправомерной.
Еще один внешне простой парадокс был указан в самом начале нашего века Д. Берри, занимавшем должность библиотекаря Оксфордского университета. Позже он был опубликован Бертраном Расселом. В русской интерпретации он звучит так: множество натуральных чисел бесконечно. Множество же тех имен этих чисел, которые имеются в русском языке и содержат меньше, чем, допустим, сто слов, является конечным. Это означает, что существуют такие натуральные числа, для которых в русском языке нет имен менее чем из ста слов. Среди этих чисел есть, очевидно, наименьшее число. Его нельзя назвать посредством русского выражения, содержащего менее ста слов. Но выражение "наименьшее натуральное число, для которого не существует в русском языке его сложное имя, слагающееся из менее чем ста слов" является как раз именем этого числа. Это имя сформулировано в русском языке и содержит только девятнадцать слов. Очевидный парадокс: названным оказалось то число, для которого нет имени.
Этот парадокс исчезает, если различать предметный язык и метаязык. В самом деле, в рассматриваемой фразе речь идет о различных описаниях названного числа, сделанных на некотором предметном языке, следовательно, в этой фразе утверждается, что эти описания должны содержать не менее 100 букв предметного языка; сама же эта фраза относится к метаязыку и поэтому может содержать и меньшее количество букв.
В результате абстракции неизбежно возникают понятия, относящиеся к более высокому иерархическому уровню, чем исходные. Таковым является, в частности, и понятие множества, являющееся ключевым в современной математике. Чтобы в этом убедиться, представим себе, что наблюдаем стадо, состоящее из пяти коров. Когда мы говорим о стаде, мы имеем в виду множество этих коров; и мы представляем его себе именно как отдельный самостоятельный предмет. Таким образом, получается шесть предметов: пять коров и стадо, состоящее из них. Но если нас спросят: "Сколько предметов вы видите?" - мы ответим: "Пять!". Шестой предмет увидеть нельзя! Множество - это предмет, созданный нашей мыслью. Мы мысленно объединяем эти коровы и представляем себе результат объединения как нечто целое, самостоятельное.
Георг Кантор (1843-1918), создатель теории множеств, назвал этот мысленный акт "свертыванием". В результате возникает абстрактный, воображаемый предмет. От уровня реально существующих предметов мы поднимаемся на более высокий иерархический уровень познания и попадаем в мир абстрактных понятий. Продолжая процесс восхождения ко все более и более абстрактным понятиям, мы одновременно будем переходить и на новые, более высокие иерархические уровни познания. Это весьма наглядно можно показать следующим образом.
Пусть дано некоторое множество людей, живущих в одном и том же доме, причем каждый жилец живет в отдельной квартире. Значит, роль множества выполняет дом, а элементами множества являются жильцы, живущие в отдельных квартирах этого дома. Построим теперь множество всех подмножеств данного множества. Подмножествами очевидно будут различные дома, в которых будут жить соответствующие подмножества жильцов первоначального дома. Но так как каждый элемент исходного множества является в то же время и элементом целого ряда подмножеств, то каждый житель первоначального дома должен жить одновременно и в целом ряде домов - подмножеств. Это означает, что один и тот же житель будет иметь квартиры в целом ряде домов. Какими будут эти дома?
Так как одним из подмножеств является пустое множество, то должен существовать пустой дом, в котором никто не живет. Это может быть, например, здание клуба или театра, или церковь. Одноэлементным подмножествам будут соответствовать одноквартирные дома, двухэлементным - двухквартирные и т.д.
Допустим, что построение домов-подмножеств закончено. Что же получилось? Совокупность домов, возникшая в результате нашего построения, домом не является. Построен город, состоящий из домов. Если сначала мы имели дело с множествами жильцов и называли эти множества домами, то теперь возникло множество нового вида - множество домов и это новое множество мы, естественно, называем по-другому: это город. Можно теперь идти дальше и рассматривать множество всех подмножеств этого города. То, что мы получим, не будет городом, это будет нечто более общее. Можно, например, назвать эту совокупность городов "страной".