Геометрические векторы (стр. 2 из 2)

3) Умножение вектора на число.

Определение 3. Произведением вектора

на число называется вектор , определенный следующими условиями:

1)

;

2) вектор

коллинеарен вектору ;

3) векторы

и направлены одинаково, если , и противоположно, если .

Очевидно, что операция умножения вектора на число приводит к его растяжению или сжатию. Противоположный вектор

можно рассматривать как результат умножения вектора на . Отсюда,

.

Из определения 3 следует, что если

, то векторы и коллинеарны. Отсюда вытекает определение коллинеарности векторов.

Определение 4. Любые два вектора

и коллинеарны, если связаны соотношением , где - некоторое число.

Величину

можно определить из отношения . Оно положительно, если векторы направлены в одну сторону, и наоборот отрицательно, если направление векторов противоположно.

Из построения параллелограмма легко убедиться, что умножение вектора на число обладает распределительным свойством:

;

и сочетательным свойством

.

Определение 5. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

Обозначаются единичные векторы символами

или .

Используя понятие единичного вектора, любой вектор можно представить следующим образом:

.

3. Проекция вектора на ось

В процессе выполнения простейших операций иногда приходится сталкиваться с таким понятием, как проекция вектора на какую-либо ось. Введем вначале понятие угла между векторами.

Определение 1. Углом между векторами

и называется наименьший угол , на который надо повернуть один из векторов до совмещения со вторым.

Положительным считается отсчет угла против часовой стрелки.

Пусть необходимо найти проекцию вектора

на ось . Выберем на оси начало отсчета 0 и масштаб. Совместим с началом отсчета единичный вектор . Тогда угол между и осью будет равен углу между и . Спроецируем начало и конец вектора на ось . Тогда длина отрезка , а . Длина же проекции вектора :

.

Рис. 1

Определение 2. Проекцией вектора

на ось называется разность между координатами проекций конца и начала вектора на ось .

Очевидно, что если

- острый угол, проекция положительна; если - тупой угол, то отрицательна; если , то проекция равна нулю.

Теорема 1. Проекция вектора

на ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ними:

.

Доказательство теоремы вытекает из Рис. 1.

Теорема 2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Доказательство. Пусть

. Обозначим проекцию точки через , точки - через , точки - через .

Тогда

; ; .

Но

.

Теорема 3. Если вектор

умножить на число , то его проекция на ось умножится на то же число.

Докажем для случая

:

.

Если

, то

.

Литература

1. Артамонов Вячеслав Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. Изд-во: Факториал, Факториал Пресс, 2007. - 128с.

2. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Издательство: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. - 584c.

3. Клейн Ф. Высшая геометрия. изд. - 2. Издательство: Едиториал УРСС, 2004. - 400c.

4. Клейн Ф., Феликс Христиан Клейн Высшая геометрия: Пер. с нем. Изд.3. ЛИБРОКОМ, 2009. - 400c.