Понятие многомерной случайной величины (стр. 2 из 4)
W(x) =F ′(x), (1)
где W(x) – дифференциальная функция распределения. Дифференциальная функция применяется только для описания распределения вероятностей непрерывных случайных величин.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от α до β,
P(α <X< β) =
. (2)Используя соотношения (2) и (1), получим P (α ≤ X< β) = P (α <<X<< β) =
.Геометрически этот результат равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения W(x) и прямымих = α, х = β.
Зная плотность распределения W(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле
F(x) =
. (3)В самом деле, так как неравенство X <х можно записать в виде двойного неравенства – ∞ <X <х, то F(x) = P (– ∞ <X < х) =
(рис. 3). 
Рис. 3. Связь функции распределения с плотностью распределения вероятностей
Таким образом, для полной характеристики непрерывной случайной величины достаточно задать функцию распределения или плотность ее вероятности.
1. Дифференциальная функция – неотрицательная функция:
W(x) ≥ 0. (4)
Это следует из того, что F(x) – неубывающая функция, а значит, ее производная неотрицательна.
2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от – ∞ до + ∞ равен 1
. (5)Очевидно, что этот интеграл выражает вероятность достоверного события – ∞ <Х + ∞.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл вида
М(Х) =
. (6)Дисперсией непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл вида
D(x) = σ2 =
. (7)Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины называется квадратный корень из дисперсии
σ =
. (8)Для числовых характеристик непрерывных случайных величин справедливы те же свойства, что и для дискретных. В частности, для дисперсии непрерывной случайной величины справедлива формула
D(X)=
. (9)Начальным моментом k-го порядка(mk) случайной величины X называется математическое ожидание ее k-й степени:
для дискретной случайной величиныmk=
;для непрерывной случайной величиныmk=
. (10)Центральным моментом k-го порядка (μк) случайной величины X называют математическое ожидание k-й степени отклонения случайной величины X от ее математического ожидания:
для дискретной случайной величиныμk=
;для непрерывной случайной величины
μk=
. (10)Заметим, что начальный момент первого порядка m1представляет собой математическое ожидание случайной величины, а центральный момент второго порядка μ2 – дисперсию случайной величины.
Центральный момент третьего порядка применяется для характеристики скошенности или асимметрии распределения (коэффициентасимметрии):
β1 = μ3/σ3. (12)
Для симметричных распределений β1 = 0. Центральный момент 4-го порядка применяется для характеристики крутости (эксцесса) распределения (неприведенный коэффициент эксцесса):
β2 = μ4/σ4. (13)
Часто в практических ситуациях используют квадрат коэффициента асимметрии и приведенный коэффициент эксцесса.
γ1 = β12=μ23/σ6; γ2 = β2–3 = μ4/σ4–3.
Величина хр, определяемая равенством F(xp) = Р (Х <хр), называется квантилью уровня p. Квантиль х0,5 называется медианой. Значение х, при котором W(x) принимает максимальное значение, называется модой.
Нормальное распределение
Наиболее важным распределением непрерывных случайных величин является нормальное распределение. Множество явлений в практической жизни можно описать с помощью модели нормального распределения, например распределение высоты деревьев, площадей садовых участков, массы людей, дневной температуры и т.д. Нормальное распределение используется и для решения многих проблем в экономической жизни. Например, распределение числа дневных продаж в магазине, числа посетителей универмага в неделю, числа работников в некоторой отрасли, объемов выпуска продукции на предприятии и т.д.
Нормальное распределение находит широкое применение и для аппроксимации распределения дискретных случайных величин. Так, например, доходы от определенных видов рискованного бизнеса приблизительно подчиняются нормальному распределению.
Нормальное распределение иногда называют законом ошибок. Например, отклонения в размерах деталей от установленного объясняются многими причинами, каждая из которых влияет на размер детали, так что отклонение, которое фактически регистрируется при измерениях, является суммой большого числа отклонений (ошибок).
Нормальная случайная величина имеет плотность распределения, определяемую формулой
(1)где – ∞ < x < + ∞, а = М(Х), λ = σ(Х).
Основные свойства W(x):
а) функция W(x) существует при любых действительных значениях х и принимает только положительные значения. Следовательно, нормальная кривая распределения расположена выше оси абсцисс;
б) при неограниченном возрастании х по абсолютной величине W(x) стремится к нулю, значит, ось абсцисс служит горизонтальной асимптотой кривой нормального распределения;
в) максимальное значение функция W(x) принимает в точке, соответствующей математическому ожиданию случайнойвеличины х.
Действительно, приравнивая первую производную от W(x) к нулю, т.е.
убеждаемся в том, что W(x)' = 0 при х = a; W'(х)> 0 при х < а; W'(x)<< 0 при х> а.
Следовательно, функция W(х) принимает максимальное значение в точке х = а;
г) кривая нормального распределения симметрична относительно прямой х = а, поскольку разность x – а входит в формулу (1) в квадрате;
д) кривая нормального распределения имеет две точки перегиба, симметрично расположенные относительно прямой х = а, с абсциссами точек перегиба а – λ и а + λ и ординатами
.Формула (6.1) содержит два параметра: математическое ожидание а = М(Х) и стандартное отклонение λ = σ(X). Следовательно, существует бесконечно много нормально распределенных случайных величин, у которых разные M(Х) и σ(X). Графики их плотностей имеют одинаковую форму – симметричную, колоколообразную. Если М(Х) и σ(X) известны, то из семейства нормальных случайных величин выделяем конкретную нормальную случайную величину с определенной плотностью.
Математическое ожидание а – это величина, которая характеризует положение кривой распределения на оси абсцисс (рис. 1). Изменение параметра а при неизменном λ приводит к перемещению оси симметрии (х = а) вдоль оси абсцисс и, следовательно, к соответствующему перемещению кривой распределения. М(Х) = а иногда называют центрам распределения или параметром сдвига. При х = М(Х) = = а плотность распределения вероятности наибольшая, а вследствие симметрии плотности а = Мо= Ме, и площадь, расположенная под кривой, делится пополам осью симметрии. Здесь Мо – мода распределения, Ме – медиана.
Рис. 1. Кривые плотности нормального распределения с различными а и λ
Изменение среднего квадратического отклонения при фиксированном значении математического ожидания приводит к изменению формы кривой распределения. С уменьшением λ вершина кривой распределения будет подниматься, кривая будет более «островершинной» (вытянутой вдоль оси симметрии). С увеличением λ кривая распределения менее островершинная и более растянута вдоль оси абсцисс. Одновременное изменение параметров a и λ приведет к изменениюи формы, и положения кривой нормального распределения.
Условимся о форме записи случайных величин. Например, запись X~а (X; М(Х), σ2) означает: случайная величина X подчиняется закону распределения а с математическим ожиданием М(Х) и средним квадратическим отклонением σ, либо дисперсией σ2. Это общая форма записи случайной величины, распределенной по закону а. Если речь идет о биномиальном законе, то будем обозначать В; о нормальном – N и т.д.
Итак, если мы имеем дело со случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распределения, с математическим ожиданием а = 5,7 и λ = 2, то запись будет X~N (X; 5,7; 22).λ2записывается как 22, а не 4.