Базисные сплайны (стр. 3 из 4)
Для разности
порядка путем рассуждений по индукции нетрудно получить 
Представим функцию
в виде 
и построим ее разделенную разность
порядка по формуле Лейбница. Получим 
Отсюда, если учесть определение сплайнов
, следует тождество (4).Лемма 1.2. Сплайны
обладают следующими свойствами: 
Доказательство. Функция
равна нулю при 
и является многочленом степени n от х при 
. Поэтому ее разделенные разности 
порядка по значениям аргумента 
тождественно равны нулю при 
и 
т.е. 
Внутри интервала 
В самом деле, при n = 0 согласно (2)
. Пусть, далее, утверждение а) верно при 
Тогда при n=l в силу (4) на интервале 
функция 
является линейной комбинацией с положительными весами функций 
причем по предположению в произвольной точке указанного интервала хотя бы одна из этих функций больше нуля. Следовательно, 
для 
, и утверждение а) установлено.Докажем утверждение б). Всякую n+1 раз непрерывно дифференцируемую функцию g(t) на промежутке а ≤ t ≤ b можно представить формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме:
Здесь под знаком интеграла вместо обычного сомножителя
стоит усеченная степенная функция, что позволяет заменить переменный верхний предел t постоянной величиной b. Из (7) следует разностное соотношение
то, полагая g(x) = xn+1, поручаем
Поскольку вне интервала (а, b), то это равенство -совпадает с (6) и лемма доказана.
Лемма 1.3. Функции
являются сплайнами степени п дефекта 1 с конечными носителями минимальной длины.Доказательство. Предположим, что существует сплайн
отличный от нуля на интервале, меньшем, чем 
Такой интервал, очевидно, не может иметь границей точку, не являющуюся узлом сетки 
. Поэтому пусть это будет интервал (xi , xi+n).Возьмем представление сплайна дефекта v = 1 через усеченные степенные функции (1.4). Вследствие того, что
при 
в этом представлении 
. Так как 
при 
то ее производные до порядка n — 1 равны нулю в точке xi+n. Имеем 
Последние равенства представляют собой однородную систему линейных уравнений для определения коэффициентов
. Ее определитель пропорционален определителю Вандермонда n-ro порядка, который отличен от нуля, и система имеет только нулевое решение. Наконец, из того же условия 
следует, что 
. Значит, 
и лемма доказана.Теорема 1.2. Функции 
линейно независимы и образуют базис в пространстве сплайнов
Доказательство. Покажем сначала линейную независимость функций
на всей действительной оси. Предположим противное, т. е. что существуют такие постоянные 
, не все равные нулю, что 
Выбирая
получаем, что 
и, значит, 
. Беря затем 
находим, что 
и т.д., т.е. 
Следовательно, функции 
линейно независимы на 
Предположим теперь, что соотношение (8) выполняется только на [а, b]. Это значит, что на отрезках
обращаются в нули сплайны вида 
Каждый из них отличен от нуля самое большее на интервале
Поэтому из предположения 
при x 
согласно доказательству леммы 3 следует, что 
0 на интервалах 
, а значит, и на всей действительной оси. В силу линейной независимости функций 
на 
должно быть 
и это для всех i = 0, ..,N-1.Таким образом, функции
линейно независимы, и так как согласно теореме 1.1 размерность пространства 
равна n+N, то они образуют базис в этом пространстве. Теорема доказана.Функции
называются базисными сплайнами с конечными носителями минимальной длины (В-сплайнами). В силу теоремы 1.2 всякий сплайн 
может быть единственным образом записан
где — некоторые постоянные коэффициенты. Эту запись сплайна называют его представлением через В-сплайны.