Поверхні (стр. 2 из 3)
Якщо на поверхні конуса задана одна проекція точки А, то дві інші проекції цієї точки визначають за допомогою допоміжних ліній – твірної, розташованої на поверхні конуса і проведеної через точку А2 або кола, розташованого в площині, паралельній основі конуса.В першому випадку проводять фронтальну проекцію S2А2F2 допоміжної твірної. Скориставшись вертикальною лінією зв’язку, проведеною з точки F2, розташованої на фронтальній проекції кола основи, знаходять горизонтальну проекцію S1А1F1 цієї твірної, на якій за допомогою лінії зв’язку, проведеної через А2, знаходять шукану точку А1.
У другому випадку допоміжною лінією, проведеною через точку А1, буде коло, розташоване на конічній поверхні і паралельне площині p1. Фронтальна проекція цього кола зображується у вигляді відрізка горизонтальної прямої. Шукана горизонтальна проекція А1 точки А знаходиться на перетині лінії зв’язку, опущеної з точки А2, з горизонтальною проекцією допоміжного кола.
Якщо задана фронтальна проекція В2 точки В розташована на контурній твірній S2К2, то горизонтальна проекція точки знаходиться без допоміжних ліній.
Проекції кулі. Проекції півкулі наведено на рис. 10, б. Горизонтальна проекція – коло радіуса, що дорівнює радіусу сфери, а фронтальна – півколо того ж радіуса.
Якщо точка А розташована на сферичній поверхні, то допоміжна лінія, проведена через цю точку, має бути колом, розташованим в площині, паралельній будь-якій площині проекції. На горизонтальній проекції допоміжного кола, де воно зображується в дійсному вигляді, знаходять, використовуючи лінію зв’язку, шукану горизонтальну проекцію А1 точки А.
Величина діаметра допоміжного кола дорівнює фронтальнім проекції В2С2.
Висновки по другому питанню:
1. Щоб накреслити складну технічну деталь, потрібно, насамперед, уявити собі її форму. Для цього зручно уявно розчленити деталь на окремі геометричні тіла.
2. Геометричні тіла, обмежені плоскими фігурами – багатокутниками, називаються багатогранниками. Їх плоскі фігури називаються гранями, а лінії перетину граней – ребрами. Точки перетину ребер, або точки, в яких сходяться грані, називаються вершинами багатогранника.
3. Перетин поверхонь геометричних тіл прямою та площиною
Перетин багатогранників площиною та прямою лінією
Ми визначили що багатогранник – це геометричне тіло, обмежене плоскими гранями. Грані, перетинаючись, утворюють сітку багатогранника, складену з ребер і вершин. Зображення багатогранника на кресленні зводиться до побудови проекцій його сітки.
Площина перетинає багатогранник по багатокутнику, вершини якого є точками перетину січної площини з ребрами, а сторони – лініями перетину січної площини з гранями. Таким чином, побудова багатокутника перерізу зводиться до розв’язування відомих позиційних задач: побудова точки перетину прямої з площиною або лінії перетину двох площин. Відповідно розрізняють два способи побудови: спосіб ребер і спосіб граней.
Використовуючи спосіб ребер, визначають вершини багатокутника перерізу як точки перетину ребер багатогранника з січною площиною. Так, точка А є точкою перетину ребра піраміди 1S з площиною Г, В-ребра 2S і С – ребра 3S. Трикутник АВС – шуканий переріз піраміди.
Якщо користуються способом граней, то будують сторони фігури перерізу як лінії перетину площин граней із січною площиною. Так, відрізок прямої АВ являє собою лінію перетину грані 12S з площиною Г, ВС – грані 23S і АС – грані 13S.
Вибираючи той чи інший спосіб розв’язування, необхідно керуватися міркуваннями про найпростіше розв’язування задачі. Слід також мати на увазі, що якщо січна площина є проекціюючою, то одна з проекцій фігури перерізу збігається із слідом цієї площини, і задача зводиться до побудови другої її проекції за однією відомою.
Розглянемо кілька прикладів на застосування обох способів.
Перетин площини з багатогранником
Приклад 1. Побудувати натуральний вигляд перерізу прямої призми фронтально – проекціюючою площиною Σ.
Фігура перерізу – трикутник. Фронтальна її проекція збігається зі слідом січної площини Σ, а горизонтальна – з однойменною проекцією призми. Натуральний вигляд перерізу А4В4С4побудований на новій горизонтальній площині проекцій p4, паралельній площині перерізу.
Приклад 2. Побудувати проекції перерізу трикутної піраміди фронтально – проекціюючою площиною Σ.
Площина Σ перетинає піраміду по трикутнику АВС. Його фронтальна проекція А2В2С2 збігається з однойменним слідом Σ2 січної площини. Горизонтальні проекції вершин А і С побудовані за допомогою ліній проекційного зв’язку, а вершини В, яка лежить на профільному ребрі 2S, – за допомогою горизонталі h грані 23S.
Перетин прямої лінії з багатогранником
Загальним способом побудови точок перетину прямої з поверхнею багатогранника здійснюють в такій послідовності:
– через пряму проводять допоміжну площину;
– будують багатокутник, по якому допоміжна площина перетинає багатогранник;
– фіксують точки перетину прямої з фігурою перерізу, які і є шуканими точками.
Приклад 1. Побудувати точки перетину прямої l з поверхнею трикутної піраміди.
Через пряму провели фронтально – проекціюючу площину Σ, яка перетинає піраміду по трикутнику АВС. Шукані точки перетину М та N.
Перетин кривих поверхонь площиною та прямою лінією
В загальному випадку лінію перетину кривої поверхні з площиною будують способом допоміжних січних площин.
Січна площина Г перетинає задану поверхню Ф по деякій лінії l. Точки цієї лінії будують за допомогою допоміжних площин. Так, площина Σ перетинає задану поверхню по кривій лінії и, а січну площину Г – по прямій а. Ці лінії перетинаються в точках М і N, які належать шуканій лінії перетину l. Повторюючи указаний спосіб декілька разів, можна знайти достатню кількість точок для побудови фігури перерізу. При цьому допоміжні площини слід вибирати так, щоб одержувались прості перерізи поверхні.
Якщо поверхня лінійчата, то фігуру перерізу можна будувати способом твірних, визначаючи точки перетину прямолінійних твірних з січною площиною. Таким чином, побудова ліній перетину зводиться до багаторазового розв’язування відомої задачі про визначення точки перетину прямої з площиною.
Перетин циліндра площиною
Площина може перетинати циліндр по прямолінійних твірних, по колу і по еліпсу.
Приклад 1. Побудувати проекції і натуральний вигляд перерізу прямого кругового циліндра фронтально – проекціюючою площиною Σ.
Фігура перерізу – еліпс. Фронтальна проекція його збігається із Σ2, а горизонтальна – з колом, в яке проектується на площину p1 циліндр.
Велика вісь еліпса визначається відрізком АВ, а мала СD дорівнює діаметру циліндра d. Натуральний вигляд перерізу знайдено двома способами – способом плоскопаралельного переміщення і способом заміни площин проекцій.
Перетин конуса площиною
Можливі такі перерізи конуса:
1. Еліпс, якщо січна площина перетинає всі твірні конуса.
2. Парабола, якщо січна площина паралельна одній твірній конуса.
3. Гіпербола, якщо січна площина паралельна двом твірним конуса.
4. Трикутник, якщо січна площина проходить через вершину конуса.
На рис. 17, а дана фронтальна проекція прямого кругового конуса і показані сліди січних площин, які дають відповідні перерізи, а на рис. 17, б, в, г, д, е – наведені їх наочні зображення.
Перетин кривих поверхонь прямою лінією
Загальним способом побудови точок перетину прямої лінії з поверхнею виконують в такій послідовності:
– через пряму проводять допоміжну площину;
– будують лінію перетину поверхні допоміжною площиною;
– визначають точки перетину прямої з поверхнею.
Висновки по третьому питанню:
1. Побудова багатокутника перерізу зводиться до розв’язування відомих позиційних задач: побудова точки перетину прямої з площиною або лінії перетину двох площин.
2. Відповідно розрізняють два способи побудови: спосіб ребер і спосіб граней. Використовуючи спосіб ребер, визначають вершини багатокутника перерізу як точки перетину ребер багатогранника з січною площиною. Якщо користуються способом граней, то будують сторони фігури перерізу як лінії перетину площин граней із січною площиною.
4. Взаємний перетин поверхонь тіл. Побудова лінії перетину поверхонь. Спосіб допоміжних січних поверхонь
Більшість найскладніших і відповідальних оригінальних деталей приладів і машин утворені комбінацією різних елементарних тіл, розташованих у просторі так, що поверхні їх перетинаються між собою. Тому важливим етапом конструювання таких деталей є визначення меж елементарних початкових поверхонь, якими і є лінії їхнього взаємного перетину.
Спільна лінія двох поверхонь називається лінією їх перетину.
Для побудови лінії перетину поверхонь використовують два способи та їх комбінації.
1. Будують точки перетину ребер одного багатогранника з грянями другого і ребер другого з гранями першого. Через побудовані точки в певній послідовності проводять ламану лінію перетину даних багатогранників. При цьому відрізки прямих проводять лише через ті побудовані точки, які лежать у одній і тій же грані.