Теорема. Для любого вектора

, любого действительного числа х и перемещения g имеет место равенство:

. (5)

Доказательство. Если

, то в силу (4)

. Так как движение g сохраняет величину угла между векторами, а значит, и сохраняет, в частности, их сонаправленность или противонаправленность, то из

или

вытекает соответственно

или

. Отсюда и из равенства

следует (5).

Доказанная зависимость (5) с помощью первой формулы (2) обобщается на такую:

. (6)

Действительно,

Ясно, что зависимость вида (6) будет справедлива и для линейной комбинации любого числа векторов. [1]

2.3. Трансформация поворота движением

Далее, если u∩v = O, то g(u)∩g(v) = g(O) и

(g(u), g(v)) =
(u, v), если g – движение 1-го рода, и
(g(u), g(v)) = -
(u, v), если g – движение 2-го рода. Поэтому, если

, то

(7)

где знак «+» берется при движении g 1-го рода и «-» - при движении g второго рода. [1]

В частности, если прямая l проходит через т.О пересечения прямых u и v, то

. (8)

2.4. Трансформация центральной симметрии движением

Так как центральная симметрия – частный случай поворота, а именно – поворот на 180°, то

, а в силу формулы (7)

, а это, в свою очередь, Z_g₍_O₎. Таким образом,

(Z_O)^g = Z_g₍_O₎. (9)

2.5. Трансформация зеркальной симметрии движением

Рассмотрим трансформацию преобразования пространства – зеркальной симметрии. Неподвижными точками преобразования

являются точки g(α), которые также образуют плоскость (по свойству движения), значит,

_.(10)

2.6. Трансформация поворота относительно оси движением

Поворот относительно оси l на угол α – это преобразование пространства, композиция двух зеркальных симметрий относительно плоскостей β и γ таких, что β∩γ = l,

(β, γ) = α. Заметим, что в данном примере движение g также должно быть движением пространства, поэтому оно не может быть поворотом относительно точки. Далее,
, по формулам (2) это равняется

(по (10)). Пусть g(β)∩g(γ) = m,
(g(β), g(γ)) = φ. Тогда по определению поворота относительно оси
.

β∩γ = l, а т.к. образ пересечения равен пересечению образов, то g(β)∩g(γ) = g(l) и

(g(β), g(γ)) =
(β, γ), если g – первого рода и
(g(β), g(γ)) = = -
(β, γ), если g– второго рода, поэтому

. (12)

3. Трансформация гомотетии движением

Рассмотрим

. Пусть g(О)=А. Тогда по свойству неподвижных точек и двойных прямых, А – неподвижная точка преобразования

, также мы имеем пучок неподвижных прямых в т. А, поэтому данное преобразование не может быть поворотной гомотетией или гомотетической симметрией. Следовательно,

. Найдем коэффициент с, для этого рассмотрим точку М₁, пусть |М₁,A| = d.

Пусть g(М1) = М, мы знаем, что g(О)=А тогда по свойствам движения |МО| = d.

Пусть

, по определению гомотетии |М₂О| = kd.

Пусть g(М₂) = М₃, по свойствам движения |М₃А| = kd. А т.к. при гомотетии все расстояния изменяются в одно и то же число раз, то с = k. Следовательно,

. (21)

4. Трансформация гомотетии гомотетией

Найдем сначала композицию двух гомотетий

, для этого рассмотрим вектор

. По свойству гомотетии,

, а

Рассмотрим первый случай, когда lk = 1, тогда мы получили преобразование, при котором вектор перешел сам в себя, а это параллельный перенос

. Найдем вектор

, для этого найдем образ точки О при этой композиции.

, а

. Тогда

. Значит, композиция двух гомотетий

при lk = 1 есть параллельный перенос на вектор

. (22)

Рассмотрим второй случай, когда lk ≠ 1. Найдем неподвижные точки этого преобразования. Пусть точка М – неподвижная, тогда если

, а

, то М = D, значит,

. Но

. Т.к.

, то

. Тогда

. Т.к. lk ≠ 1, то выразим вектор

. Значит, у данного преобразования только одна неподвижная точка М, причем

, следовательно, точки O, Q, M лежат на одной прямой.