Статистические расчеты содержания влаги (стр. 4 из 4)

F_cp = r² * (n – 2)

1 – r²

F_cp = 0.19 * (10 – 2) = 1.78

1 – 0.19

F_табл = 5.32

F_cp < F_табл => нулевая гипотеза подтвердилась, уравнение статистически незначимо.

Рассчитаем зависимость веса от возраста:

Фактор (X): возраст.

Результативный признак (Y): вес.

№	X	Y	X*Y	X2	Y2	Yx	Y-Yx	(Y-Yx)2	. (X – X)2
1	18	65	1170	324	4225	71.70	-6.70	44.89	46.24
2	20	73	1460	400	5329	72.76	0.24	0.058	23.04
3	21	69	1449	441	4761	73.29	-4.29	18.40	14.44
4	22	74	1628	484	5476	73.82	0.18	0.032	7.84
5	22	77	1694	484	5929	73.82	3.18	10.11	7.84
6	24	75	1800	576	5625	74.88	0.12	0.014	0.64
7	25	78	1950	625	6084	75.41	2.59	6.71	0.04
8	26	84	2184	676	7056	75.94	8.06	64.96	1.44
9	31	79	2449	961	6241	78.59	0.41	0.17	38.44
10	39	79	3081	1521	6241	82.83	-3.83	14.67	201.64
S	248	753	18856	6492	56967	753.04	-0.04	160	341.6

Определим параметры линейной функции с помощью системы уравнений:

n*a + b*åx = åy

a*åx + b*åx² = åx*y

10*a + 248*b = 753

248*a + 6492*b = 18856

a = 753 - 248*b => 1812 – 248*b *248 + 6492*b = 18856

10 10

b = 0.53

a = 62

r = åx*y – (åx*åy)/n = 18856 – (248*753)/10 =>

Ö(åx² – (åx)²/n)*(åy² – (åy)²/n) Ö(6492 – 248²/10)*(56967 – 753²/10)

r = 0.6 - заметная прямая связь

r² = 0.36 - вес на 36% зависит от возраста

Тест Фишера:

F_cp = r² * (n – 2)

1 – r²

F_cp = 0.36 * (10 – 2) = 4.5

1 – 0.36

F_табл = 5.32

F_cp < F_табл => нулевая гипотеза подтвердилась, уравнение статистически незначимо.

Рассчитаем зависимость веса от роста:

Фактор (X): рост.

Результативный признак (Y): вес.

№	X	Y	X*Y	X2	Y2	Yx	Y-Yx	(Y-Yx)2	. (X – X)2
1	174	65	11310	30276	4225	67.52	-2.52	6.35	51.84
2	183	73	13359	33489	5329	77.24	-4.24	17.98	3.24
3	182	69	12558	33124	4761	76.16	-7.16	51.26	0.64
4	180	74	13320	32400	5476	74.00	0	0	1.44
5	178	77	13706	31684	5929	71.84	5.16	26.63	10.24
6	179	75	13425	32041	5625	72.92	2.08	4.33	4.84
7	185	78	14430	34225	6084	79.40	-1.40	1.96	14.44
8	185	84	15540	34225	7056	79.40	4.60	21.16	14.44
9	184	79	14536	33856	6241	78.32	0.68	0.46	7.84
10	182	79	14378	33124	6241	76.16	2.84	8.06	0.64
S	1812	753	136562	328444	56967	752.96	0.04	138.19	109.6

Определим параметры линейной функции с помощью системы уравнений:

n*a + b*åx = åy

a*åx + b*åx² = åx*y

10*a + 1812*b = 753

1812*a + 328444*b = 136562

a = 753 - 1812*b => 753 – 1812*b *1812 + 328444*b = 136562

10 10

b = 1.08

a = -120

r = åx*y – (åx*åy)/n = 136562 – (1812*753)/10 =>

Ö(åx² – (åx)²/n)*(åy² – (åy)²/n) Ö(328444 – 1812²/10)*(56967 – 753²/10)

r = 0.69 - заметная прямая связь

r² = 0.47 - вес на 47% зависит от роста

`x = 1812/10 = 181.2

Тест Фишера:

F_cp = r² * (n – 2)

1 – r²

F_cp = 0.47 * (10 – 2) = 7.1

1 – 0.47

F_табл = 5.32

F_cp > F_табл => нулевая гипотеза не подтвердилась, уравнение имеет экономический смысл.

Тест Стьюдента:

Рассчитаем случайные ошибки:

.

m_{a =} Ö å(y – y_x)² * åx² .

n – 2 n*å(x –`x)²

.

m_{b =} Ö å(y - y_x)² / (n – 2)

å(x –`x)²

.

m_r = Ö 1 – r²

n – 2

.

m_{a =} Ö 138.19 * 328444 = 72

8 10*109.6

.

m_{b =} Ö 138.19 / (10 – 2) = 1

109.6

.

m_r = Ö 1 – 0.47 = 0.26

10 – 2

t_a = a/m_a = 120/72 = 1.67

t_b = b/m_b = 1.08/1 = 1.08

t_r = r/m_r = 0.69/0.26 = 2.65

t_табл = 2.3

Для расчёта доверительного интервала рассчитаем предельную ошибку:

D_a = t_табл – t_a = 2.3 – 1.67 = 0.63

D_b = t_табл - t_b = 2.3 – 1.08 = 1.22

D_r = t_табл – t_r = 2.3 – 2.65 = -0.35

Рассчитаем доверительные интервалы:

g_a = a ± D_a = -121.03 ¸ 119.77

g_b = b ± D_b = -0.14 ¸ 2.3

g_r = r ± D_r = 0.34 ¸ 1.04

Задача №2

При контрольной выборочной проверке процента влажности почвы фермерских хозяйств региона получены следующие данные:

3.8

3.9

4.0

3.6

4.5

4.1

4.0

3.2

1. С вероятностью 0.95 и 0.99 установить предел, в котором находится средний процент содержания влаги.

2. Сделать выводы.

№	1	2	3	4	5	6	7	8	å
x	3.8	3.9	4.0	3.6	4.5	4.1	4.0	3.2	31.1
(x -`x)	-0.09	0.01	0.11	-0.29	0.61	0.21	0.11	-0.69	0.00
(x -`x)2	0.0081	0.0001	0.0121	0.0841	0.3721	0.0441	0.0121	0.4761	1.0088

Генеральная средняя: `x = åx = 31.1 = 3.8875

n 8

Генеральная дисперсия: d² = å(x -`x)² = 1.8875 = 0.1261

n 8 .

Средняя квадратическая стандартная ошибка: m_`x = Ö d² = Ö 0.1261 = 0.126

n 8

Предельная ошибка выборки: D_{`x</sub> = t*m<sub>`x}

Из таблицы значений t–критерия Стьюдента:

t_0.95 = 2.4469

t_0.99 = 3.7074

Для вероятности 0.95, предельная ошибка выборки:

D_`x = 2.4469*0.126 = 0.308

Для вероятности 0.99, предельная ошибка выборки:

D_`x = 3.7074*0.126 = 0.467

Доверительные интервалы:

`x - D<sub>`x</sub> £`x ³`x + D_`x

Предел среднего процента содержания влаги с вероятностью 0.95:

3.5795 ¸ 4.1955

Предел среднего процента содержания влаги с вероятностью 0.99:

3.4205 ¸ 4.3545

Из полученных значений видно, что при увеличении ширины доверительного интервала, вероятность попадания в него среднего значения изучаемого параметра повышается.

Список использованных источников:

1. Ефимова М. Р., Петрова Е. В., Румянцев В. Н. ”Общая теория статистики”, - М.: Инфра-М, 2000г.

2. Шмойлова Р. А. “Теория статистики”, - М.: Финансы и статистика, 1996г.

3. Пасхавер И.С. “Средние величины в статистике”, - М.: Статистика, 1979г.

4. Елисеева Н.В. “Эконометрика”, - М.: Инфра-М, 1998г.