Геометрические построения на местности с помощью циркуля и короткой градуированной веревки (стр. 2 из 3)
Решение: для решения данной задачи воспользуемся задачей 1 и построим хотя бы одну точку С лежащую между точками А и В, и принадлежащую прямой АВ.
Через точки В и С проводим две полуокружности до получения двух точек пересечения М и К.
Затем проведем те же построения, только с точками М и К. Таким образом получатся еще две точки А1 и В1, такие что, А1 лежит между точками А и В, а точка В1, как продолжение прямой АВ в направлении точки В.
Таким образом, можно получить множество точек прямой АВ.
Задача 3. Найти точку пересечения двух прямых
На местности колышками обозначены две точки (А и В) одной прямой и две точки (С и D) другой прямой. Как найти точку пересечения этих прямых?
Решение: данная задача сводитсяк построению двух различных прямых. Пользуясь задачей 1, 2 построим множество точек прямой АВ и множество точек прямой СD. Наша задача найти точку пересечения получившихся прямых АВ и CD.
Натянем веревку на ближайшие четыре колышка, как показано на рисунке, точка пересечения веревки и будет точкой пересечения прямых АВ и CD. В нашем случае это точка О.
Задача 4. Построение перпендикуляра к прямой
На местности обозначена данная прямая точками А и В. Как построить произвольный перпендикуляр к данной прямой?
Решение: для решения данной задачи воспользуемся задачей 1 и построим точки С и D.
Далее задача сводится к построению множества точек прямой СD, которая и будет являться перпендикуляром к прямой АВ.
Задачи с использованием короткой градуированной веревки
Задача 5. Симметрия относительно точки (построение отрезка равного данному)
На местности обозначены точки А и В. Как найти точку С, симметричную точке А относительно точки В?
Решение:построим некоторое число точек прямой АВ (задача 1) и с помощью короткой градуированной веревки найдем длину отрезка АВ (измерив расстояние между всеми построенными точками отрезка АВ).
Продолжим прямую АВ за точку В (задача 2) и отложим на ней точку С на расстоянии АВ от точки В. Для этого понадобится построить несколько точек прямой АВ в направлении точки В и отложив необходимое расстояние получим искомую точку С.
Задача 6. Построение прямой параллельной данной
На местности обозначены три данные точки: А, В и С, не лежащие на одной прямой. Через точку А проложите прямую, параллельную прямой ВС.
Решение: продолжим прямую АВ за точку В (задача 2) и отложим на ней точку Dна расстоянии АВ от точки В(задача 5). Продолжим прямую СDза точку С и отложим на ней точку Е на расстоянии СDот точки С. Тогда отрезок АЕ будет параллелен отрезку ВС, являющемуся средней линией треугольника АDЕ, так как средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Задача 7. Нахождение середины отрезка
Найдите середину отрезка АВ, заданного на местности двумя точками А и В.
Решение:возьмём какую-либо точку С, не лежащую на прямой АВ. Продолжим прямую CВ за точку С (задача 2) и отложим на ней точку Dна расстоянии 2ВС от точки С (задача 5). Продолжим прямую АDза точку А (задача 2) и отложим на ней точку Е на расстоянии АDот точки А (задача 5). Искомая середина Fотрезка АВ лежит на его пересечении с прямой ЕС. Действительно, отрезок СЕ параллелен отрезку AG- средней линии треугольника CDE(здесь G- середина отрезка CD). Так как, кроме того, BC = CG, то CF- средняя линия треугольника ABG, откуда AF = FB.
Задача 8. Построение биссектрисы угла
На местности обозначены три точки A,M и N, не лежащие на одной прямой. Проложите биссектрису угла MAN.
Решение:выберем на стороне данного угла точки В и С, а на другой - точки D и Е так, чтобы выполнялись равенства
AB = BC = AD = DE. (Воспользоваться задачей 5).
Найдём точку О пересечения прямых ВЕ и CD. (Воспользоваться задачей 3). Тогда прямая АО будет искомой биссектрисой, поскольку в равнобедренном треугольнике ACEбиссектриса AF является одновременно и медианой, а значит, проходит через точку О пересечения медиан EB и CD.
Задача 9. Деление отрезка в данном отношении
Отрезок, заданный на местности двумя точками А и В, требуется разделить в отношении, в котором находятся длины двух отрезков Р1Q1 иР2Q2, заданных на местности точками Р1,Q1 иР2,Q2, . Как это сделать?
Решение: построение точки Х, делящей отрезок АВ в отношении Р1Q1 иР2Q2, произведём аналогично построению середины отрезка АВ, описанному в решении задачи 7. Отличие будет состоять в том, что мы проведем какой-нибудь луч АМ, не лежащий на прямой АВ, и на этом луче отложим последовательно отрезки АC и СD, равные отрезкам Р1Q1 и Р2Q2. Затем проведем прямую BD и прямую проходящую через точку С параллельно прямой BD. Она пересечет отрезок АВ в искомой точке Х.
Задача 10. Построения под заданным углом
На местности обозначены точки А и В. Найдите точки C, Dи E, для которых выполнены равенства
BAC=45°, BAD=6O,° BAE=3O°.Решение:проложим перпендикуляр к прямой АВ (задача 4), пересекающий в какой–то точке луч АВ (задача 3). Будем считать для удобства, что эта точка пересечения и есть точка В. На перпендикуляре по разные стороны от точки В отложить точки С и F (задача 2), удалённые от точки В на расстояние АВ (задача 5). Тогда угол ВАС равен 45° (из равнобедренного прямоугольного треугольника АВС). На прямой AFотложим точку Gна расстоянии АВ от точки А, а затем на прямой ВС отложим точку Dна расстоянии CGот точки В. Тогда угол ВАDравен 6О°, так как по теореме Пифагора для прямоугольного треугольников АВС, ACGи ABDимеют место равенства
Для построения точки Е теперь остаётся проложить биссектрису угла BAD.
Задача 11. Построение треугольника по двум сторонам и высоте к третьей стороне
Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.
Даны три отрезка M1N1, M2N2, M3N3. Требуется построить такой треугольник АВС, у которого две стороны АВ и АС равны соответственно данным отрезкам M1N1 и M2N2, а высота АН равна отрезку M3N3.
Решение: построим прямоугольный треугольник АВН, у которого гипотенуза равна отрезку M1N1, а катет АН равен данному отрезку M3N3.
Затем проводим окружность радиуса M2N2 с центром в точке А. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой ВН обозначим буквой С. Проведя отрезки ВС и АС, получим искомый треугольник АВС.
В настоящей работе рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями на местности – провешиванием прямых, делением отрезков и углов, построение перпендикуляров, параллельных прямых и т.д. Рассмотрены задачи и даны их решения.
Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ. Ценно то, что для их решения не требуется знаний больших, чем в объеме 8 классов. Решение геометрических задач на построение ограниченным набором инструментов используемых в данной работе роднит их с классическими задачами на построение с помощью циркуля и линейки изучаемые в школьном курсе геометрии.