Рішення ірраціональних рівнянь (стр. 8 из 9)

Так як функція f(x)безперервна на відрізку [2;4], те її найбільше й найменше значення перебувають серед чисел f(3);f(2);f(4). Так як f(3)=2;f(2)=f(4)=

, , те найбільше значення f(x) є f(3)=2.

Отже, дане рівняння має єдиний корінь: 3.

Відповідь:{3}.

4. Змішані ірраціональні рівняння й методи їхнього рішення

4.1 Ірраціональні рівняння, що містять подвійну ірраціональність

Приклад 1. Вирішити рівняння

Рішення. Зведемо обидві частини рівняння в куб.

Зведемо обидві частини отриманого рівняння у квадрат.

Уведемо нову змінну. Нехай

, тоді . Одержуємо, що . Тоді .

Виконаємо зворотну заміну.

Або .

Тоді

або

Перевірка показує, що

не є коренем даного рівняння, а 1- є.

Відповідь: {1}.

Приклад 2. Вирішити рівняння

Рішення.

Уведемо нову змінну. Нехай

. Тоді

Тоді система прийме наступний вид:

Відповідь:

Приклад 3. Вирішити рівняння

Рішення. Уведемо нову змінну. Нехай

. Тоді . Одержуємо, що

.

Так як.

, те дане рівняння рівносильне наступний:

Одержуємо, що

. З огляду на, що , те рішення: . Отже, .

Виконаємо зворотну заміну.

. Тоді

Відповідь: [-4;0].

Приклад 4. Вирішити рівняння

Рішення. Перетворимо підкореневі вираження.

Повернемося до вихідного рівняння.

Останнє рівняння вирішимо методом інтервалів.

Нехай

. Одержуємо, що

. , те на даному проміжку рівняння не має корінь.

Нехай

. Одержуємо, що Рівність вірно. Знайдемо всі значення з даного проміжку. . Отже,

Нехай

. Одержуємо, що . Так як , те на даному проміжку рівняння не має корінь.

Зауваження. Дане рівняння можна вирішувати, виконавши заміну змінної

. Після рішення вихідного рівняння щодо змінної , виконавши зворотну заміну, знайдемо корінь рівняння.

Відповідь: [0;3].

Зауваження. Вираження виду

звичайно називають подвійним радикалом або складним радикалом.

Якщо підкореневе вираження являє собою повний квадрат, то можна в подвійному радикалі звільнитися від зовнішнього радикала, скориставшись рівністю

.

Перетворення подвійних радикалів.

Вправа 1. Звільнитися від зовнішнього радикала у вираженні

.

Рішення. Доданок

можна розглядати як подвоєний добуток чисел і або чисел і . Число 7 повинне бути дорівнює сумі квадратів цих чисел. Підбором знаходимо, що ця умова виконується для чисел і , тобто .

Одержуємо, що

Відповідь:

.

4.2 Ірраціональні показові рівняння

Приклад 1. Вирішити рівняння

.

Рішення.

; - рішень немає.

Відповідь:

Приклад 2. Вирішити рівняння

Рішення.

- Рішень ні, тому що

Відповідь:

Приклад 3. Вирішити рівняння

;

Відповідь:

.

Примі 4. Вирішити рівняння

Рішення.

;

Уведемо нову змінну. Нехай

. Одержуємо, що . Тоді

Виконаємо зворотну заміну.

Або

;