Предел последовательности. Теорема Штольца (стр. 3 из 3)
Отсюда, прежде всего, вытекает, что (для достаточно больших n)
следовательно, вместе с уn и
, причем варианта хп возрастает с возрастанием номера п. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению 
: 
(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что
,что и требовалось доказать.
Рассмотрим несколько примеров на применение данной теоремы
1. Вычислить
Установим одно вспомогательное неравенство (неравенство Як. Бернулли):
если п – натуральное число, большее единицы, и γ>1, то
(*)Действительно, положив γ =1+λ, где λ > 0, по формуле Бинома Ньютона будем иметь:
так как ненаписанные члены положительны, то
,что равносильно неравенству (*).
так же и в нашей задаче, положив а = 1+λ, так что λ > 0, имеем по формуле Бинома Ньютона
.Так как для n > 2, очевидно,
, то окончательно, 
При k = 1, получаем сразу
так что
Так как этот результат верен при любом а > 1, то, взяв k > 1, можем утверждать (по крайней мере, для достаточно больших n)
так что
(а > 1).Доказанный, таким образом, для k = 1, этот результат тем долее будет верен и для k < 1.
Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу
2. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения (Коши):
Если варианта ап имеет предел (конечный или бесконечный), то тот же предел имеет и варианта
(«среднее арифметическое» первых п значений варианты ап).
Действительно, полагая по теореме Штольца
имеем:
Например, если мы знаем, что
, то и 
3. Рассмотрим теперь варианту (считая к – натуральным)
,которая представляет неопределённость вида
.Полагая в теореме Штольца
будем иметь
НО
так что
используя следующее утверждение
,
Второй множитель здесь имеет конечный предел
. Если степени многочленов равны k = l, то предел отношения многочленов равен пределу отношения коэффициентов при старших степенях многочленов.Если k < l, то рассматриваемое отношение стремится к
Если k > l, то рассматриваемое отношение стремится к
в итоге мы получаем
Заключение
В данной работе мы рассмотрели теорему Штольца и её применение на практике. Рассмотренные примеры показывают, что данная теорема достаточной мере облегчает процесс нахождения пределов неопределённых выражений
, помогая вычислить искомый предел, не прибегая к вспомогательным неравенствам.Список литературы
1.Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, М., 1969.
2.Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1977.
3.Л.Д Кудрявцев, Курс математического анализа, т. 1, М., 1988.