Продольное и поперечное обтекание тел вращения (стр. 2 из 4)
Таким образом, будем иметь правильный порядок убывания j' на бесконечности, если положим
, (6)
где An- постоянные коэффициенты, зависящие от формы поверхности тела.
Складывая потенциалы j¥ и j', получим искомый потенциал скоростей продольного обтекания тела вращения со скоростью на бесконечности, равной U¥,
(7)Для определения коэффициентов An найдем выражение функции тока y. По формуле (2) будем иметь
или после подстановки разложения (7)
Переписывая второе равенство в виде
подставим под знак суммы выражение для Pn из основного дифференциального уравнения функций Лежандра (5)
Тогда будем иметь
Интегрируя по m и добавляя необходимую функцию от l, получим окончательное выражение для функции тока
(8)Уравнение нулевой поверхности тока будет
(9)Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения в эллиптических координатах, можно определить величины коэффициентов Аn, что и решает задачу. Конечно, именно этот пункт и является наиболее сложным с вычислительной стороны.
Имея выражение потенциала скоростей, найдем скорость по формуле (10).
2. Поперечное обтекание тел вращения
Наряду с продольным обтеканием тел вращения представляет интерес и поперечное обтекание, перпендикулярное (Приложение 1, б) к оси симметрии тела. Из сложения этих двух потоков можно получить обтекание тела вращения под любым углом.
В этом случае уже не получается осесимметричного движения. Уравнение Лапласа, определяющее потенциал скоростей, будет в ортогональной системе криволинейных координат, согласно (*), иметь вид
Сохраняя ту же систему координат (l, m, e), что и в случае осесимметричного обтекания тела вращения, и используя выражения коэффициентов Ламе (2), перепишем предыдущее уравнение в форме
(13)Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций
j = N(l, m) Е(e);
тогда, подставляя последнее выражение в уравнение (13) и разделяя функции независимых переменных, получим систему уравнений (k – произвольное число, которое будем считать положительным и целым)
Первое уравнение имеет решение: Е = A cos ke + В sin ke;
второе, если положить N = L(l) М(m) и разделить переменные, может быть приведено к системе уравнений
имеющей в качестве частных решений так называемые присоединенные функцииЛежандра[4]
(14)Комбинируя эти функции так, чтобы выражение потенциала скоростей возмущенного движения было ограниченным при l®¥, получим общее выражение потенциала скоростей
здесь последнее слагаемое представляет собой потенциал скоростей набегающего на тело однородного потока со скоростью на бесконечности V¥, направленной параллельно оси Оу (Приложение 1, б).
Полагая в только что выведенной общей формуле потенциала
An1 = сV¥Сn, An2 = An3 =… = 0, Bn1 = Вn2 =… = 0,
т.е. довольствуясь решением, содержащим cos e, и, кроме того, представляя у по формулам, помещенным в начале § 1, как функцию l, m и e
получим следующее выражение потенциала скоростей поперечно набегающего со скоростью V¥ вдоль оси Оу потока:
или, используя определение присоединенных функций Лежандра (14),
(15)Для определения постоянных Сn, как и ранее, следует составить граничное условие на заданной поверхности обтекаемого тела. В этом случае неосесимметричного движения функция тока отсутствует и приходится непосредственно вычислять нормальную скорость Vn = ¶j/¶n и приравнивать ее нулю.
Несколько облегчая вычисления, выпишу в выбранной системе координат (l, m) условие, что при непроницаемости поверхности обтекаемого тела элемент дуги его меридианного сечения параллелен составляющей скорости в меридианной плоскости (условие скольжения жидкости по поверхности тела):
или, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и проекций градиента потенциала на направления этих линий,
Отсюда вытекает искомое граничное условие
(16)в котором l является заданной функцией m согласно уравнению контура обтекаемого тела в меридиональной плоскости. Составляя частные производные ¶j/¶l, ¶j/¶mи используя (15) получаю:
Заменив входящие сюда выражения вторых производных на основании дифференциальных уравнений функций Рn и Qn
получим после простых приведений
Подставляя эти выражения производных в (16) и используя ранее выведенные значения коэффициентов Ламе
получим после очевидных сокращений
Имея в виду, что на поверхности тела l представляет заданную функцию от m, перепишем граничное условие в окончательной форме так:
(17)3.Продольное и поперечное обтекание удлиненных тел вращения
В большинстве практических приложений приходится иметь дело с телами вращения, удлинение которых, т.е. отношение длины к максимальной толщине, довольно велико (порядка 8–12). Это объясняется хорошей обтекаемостью такого рода тел реальной жидкостью.
Расчет обтекания тел вращения большого удлинения может быть произведен приближенным методом. Изложим его основную идею[5].
Основным затруднением в решении задачи является определение коэффициентов Аn при продольном и Сn – при поперечном обтекании тела. Чем проще будет связь между l и m, определяющая форму контура в меридианной плоскости, тем меньше коэффициентов Аn, Сn можно брать в разложениях потенциала скоростей. Самая простая связь представляется равенством l = const, т.е. случаем обтекания эллипсоида. Отсюда следует вывод: чем ближе исследуемое тело по форме к эллипсоиду, тем легче может быть разрешена задача. В связи с этим решим, прежде всего, вопрос о выборе положения начала координат на продольной оси тела. Замечу, что фокусы удлиненного эллипсоида вращения находятся посередине отрезка, соединяющего точки пересечения большой оси и поверхности эллипсоида с центром кривизны поверхности в этих точках. Начало координат следует выбирать совпадающим с серединой отрезка, соединяющего фокусы; при таком выборе начала координат, чем ближе обтекаемое тело к эллипсоиду, тем меньше уравнение контура будет отличаться от простейшего равенства l = const.
Если обтекаемое тело имеет большое удлинение, то поверхность его располагается в области значений l, мало превышающих значение l = сhx = 1 или x = 0, соответствующее отрезку оси Oz, соединяющему фокусы. Рассматривая значения функций Qn(l) и dQn/dl при l, лишь немного превышающих единицу, убедимся, что при достаточно малых x будут иметь
место равенства
(18)где gn и dn – малые по сравнению с первыми членами поправки. Замечательно, что согласно равенствам (18), при малых x все функции Qn и dQn/dl в первом приближении не зависят от индекса n. Основное граничное условие продольного обтекания (9) в первом приближении будет, согласно (18), иметь вид