Циклоида (стр. 2 из 3)
Это построение — чисто геометрическое, хотя получили мы его, используя понятия механики. Теперь мы можем проститься с механикой и дальнейшие следствия получать без ее помощи. Начнем с простой теоремы.
Теорема 1. Угол между касательной к циклоиде (в произвольной точке) и направляющей прямой равен дополнению до 90° половины угла поворота радиуса производящего круга.
Иными словами, на нашем рис. 17 уголKLT равен
или∟КМР =
.Это равенство мы теперь докажем. Для сокращения речи условимся угол
поворота радиуса производящего круга называть «основным углом». Значит, угол МОТ на рис. 17 — основной угол. Будем считать основной угол острым. Читатель сам видоизменит рассуждения для случая тупого угла, т. е. для случая, когда катящийся круг сделает больше четверти полного оборота.Рассмотрим угол СМР. Сторона СМ перпендикулярна к ОМ (касательная к окружности перпендикулярна к радиусу). Сторона MP (горизонталь) перпендикулярна к ОТ (к вертикали). Но угол МОГ, по условию, острый (мы условились рассматривать первую четверть оборота), а угол СМР — тупой (почему?). Значит, углы МОТ и СМР составляют в сумме 180° (углы со взаимно перпендикулярными сторонами, из которых один острый, а другой — тупой).
Итак, угол CMP равен 180° — φ Но, как известно, диагональ ромба делит угол при вершине пополам.
Следовательно, угол КМР=90° —
что и требовалось доказать.Обратим теперь внимание на нормаль к циклоиде. Мы говорили уже, что нормалью к кривой называется перпендикуляр к касательной, проведенный в точке касания (рис. 16). Изобразим левую часть рис. 17 крупнее, причем проведем нормальME (ME ┴ МК; см. рис. 18).
Из рис. 18 следует, что угол ЕМР равен разности углов КМЕ и КМР, т. е. равен 90° — ∟KMP.
К теореме 2
Но мы только что доказали, что сам угол КМР равен 90° -
Таким образом, получаем:
∟РМЕ = 90° - ∟ КМР = 90° - (90° -
) = Мы доказали простую, но полезную теорему. Дадим ее формулировку:
Теорема 2. Угол между нормалью к циклоиде (в любой ее точке) и направляющей прямой равен половине «основного угла».
(Вспомним, что «основным углом» называется угол поворота радиуса катящегося круга )
Соединим теперь точку М («текущую» точку циклоиды) с «нижней» точкой (Т) производящего круга (с точкой касания производящего круга и направляющей прямой — см. рис. 18). Треугольник МОТ, очевидно, равнобедренный (ОМ и ОТ — радиусы производящего круга). Сумма углов при основании этого треугольника равна 180° —
, а каждый из углов при основании — половике этой суммы. Итак,∟OMT = 90°—
.Обратим внимание на угол РМТ. Он равен разности углов ОМТ и ОМР. Мы видели сейчас, что ∟OMT равен 90°-
; что касается угла ОМР, то нетрудно выяснить, чему он равен. Ведь угол ОМР равен углуDOM (внутренние накрест лежащие углы при параллельных).  |
3. Основные свойства касательной и нормали к циклоиде
Непосредственно очевидно, что ∟DOM равен 90° — φ.
Значит, ∟OMP = 90° — φ. Таким образом, получаем:
∟РМТ = ∟ОМТ - ∟ ОМР = 90° —
— (90° — φ) = .Получается замечательный результат: угол РМТ оказывается равным углу РМЕ (см. теорему 2). Следовательно, прямые ME и МТ сольются! Наш рис. 18 сделан не совсем правильно! Правильное расположение линий дано на рис. 19.
Сформулируем полученный результат виде теоремы 3.
Теорема 3 (первое основное свойство циклоиды). Нормаль к циклоиде проходит через «нижнюю» точку производящего круга.
Из этой теоремы получается простое следствие. Угол между касательной и нормалью, по определению, — прямой. Это угол, вписанный в окружность производящего круга. Поэтому он должен опираться на диаметр круга. Итак, ТТ1— диаметр, и T1 — «верхняя» точка производящего круга. Сформулируем полученный результат.
Следствие (второе основное свойство циклоиды). Касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга.
Что бы объяснить это свойство нам необходимо построить циклоиду.
Построение циклоиды производится в следующей последовательности:
1. На направляющей горизонтальной прямой откладывают отрезок АА12, равный длине производящей окружности радиуса r, (2πr);
2. Строят производящую окружность радиуса r, так чтобы направляющая прямая была касательной к неё в точке А;
3. Окружность и отрезок АА12 делят на несколько равных частей, например на 12;
4. Из точек делений 11, 21, ...121 восстанавливают перпендикуляры до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности в точках 01, 02, ...012;
5. Из точек деления окружности 1, 2, ...12 проводят горизонтальные прямые, на которых делают засечки дугами окружности радиуса r;
6. Полученные точки А1, А2, ...А12 принадлежат циклоиде.
На рис. 20 основание циклоиды разделено на 6 равных частей;
 |
чем число делений будет больше, тем, как мы знаем, чертеж получится точнее. В каждой точке циклоиды, построенной нами, проведем касательную, соединяя точку кривой с «верхней» точкой производящего круга. На нашем чертеже получилось семь касательных (из них две — вертикальные). Проводя теперь циклоиду от руки, будем заботиться, чтобы она действительно касалась каждой из этих касательных: это значительно увеличит точность чертежа. При этом сама циклоида будет огибать все эти касательные [1]).
Проведем на том же рис. 20 нормали во всех найденных точках циклоиды. Всего будет, не считая направляющей, пять нормалей. Можно построить от руки сгибающую этих нормалей. Если бы мы вместо шести взяли 12 или 16 точек деления, то нормалей на чертеже было бы больше, и огибающая наметилась бы ясней. Такая огибающая всех нормалей играет важную роль при изучении свойств любой кривой линии. В случае циклоиды обнаруживается любопытный факт: огибающей нормалей циклоиды служит точно такая же циклоида, только сдвинутая на 2а вниз и на πа вправо. Этот факт характерен именно для циклоиды.
4. Геометрическое определение циклоиды
Теперь мы дадим определение циклоиды как геометрического места точек, не пользуясь механикой. Проще всего поступить так. Рассмотрим произвольную прямую АВ (будем условно считать ее направление горизонтальным) и на ней точку М0. Далее рассмотрим всевозможные круги определенного радиуса, касающиеся этой прямой и расположенные по одну сторону от нее. На каждом круге от точки Т касания его с прямой АВ отложим (в направлении к точке М0) дугу ТМ, по длине равную отрезку М0Т. Геометрическое место точек М (взятых на всех упомянутых нами кругах) и будет циклоидой.
Установим еще одно важное свойство циклоиды и попробуем именно его положить в основу изучения этой кривой.
Рассмотрим треугольник МТТ1 (рис. 21), образованный вертикальным диаметром производящего круга, касательной к циклоиде и нормалью к ней.
Связь между «высотой» и наклоном касательной
Угол МТ1Т, как вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, т. е. равен
. Проведем МК||АВ иME ┴ АВ. Отрезок МЕ будет играть в дальнейшем значительную роль, поэтому дадим ему имя и обозначение: будем называть его «высотою» точки М циклоиды и обозначать буквою h. Итак, высота точки М циклоиды — это расстояние ее от направляющей прямой.Обратим внимание на угол КМТ. Он равен углу МТ1Т. Из треугольника ТМТ1 получаем:
МТ = 2а sin
а из треугольника ТКМ:
КТ = МТ sin-
.Сопоставляя эти результаты и замечая, что КТ = h, получим окончательно:
h = 2asin2
Мы выразили высоту точки М через угол между касательной в точке М и вертикалью (горизонталью мы по-прежнему считаем направление прямой АВ). Теперь выразим синус этого угла через «высоту». Получим, очевидно: