Линейные системы уравнений (стр. 4 из 4)
После нормирования векторы образуют правую систему собственных векторов. Транспонированная Т-матрица с этими векторами есть
-матрица ( 
); ее строки являются собственными левосторонними векторами: 
.Внешнее (матричное) произведение каждого нормированного вектора
самого на себя дает нам проекторы искомой матрицы: 
Умножая каждое собственное значение
из заданного набора на свой проектор и суммируя, получим: 
.Аналогично получается обратная матрица:
.С помощью этих же проекторов вычисляется любая аналитическая функция, аргументом которой является матрица A:
.10.Оценка величины и нахождение собственных значений
Краткое рассмотрение основных теоретических положений линейной алгебры позволяет сделать следующие выводы: для успешного решения систем линейных алгебраических уравнений и вычислений матричных функций необходимо уметь находить ее собственные значения и собственные векторы.
Для любой матрицы A с действительными компонентами и любого ненулевого вектора v существует отношение Рэлея, связывающее скалярное произведение векторов v и Av с минимальным и максимальным собственными значениями:
.К высказанному необходимо сделать еще ряд замечаний, связанных со случаями, когда исходная матрица имеет кратные собственные значения или оказывается вырожденной.
Характеристическое уравнение матрицы A с кратным корнем
можно записать в виде 
.На основании этой записи можно составить минимальноехарактеристическое уравнение
, для которого матрица A также является корнем: 
.Особенности в части определения собственных значений и векторов обычно возникают в несимметричных матрицах (
). Некоторые из них никакими подобными преобразованиями не удается свести к диагональной. Например, не поддаются диагонализации матрицы n-го порядка, которые не имеют n линейно независимых собственных векторов. Однако любаяматрица A размера 
с помощью преобразования подобия может быть приведена к прямой сумме жордановых блоков или к канонической жордановой форме: 
,где A – произвольная матрица размера
; 
– жорданов блок размера 
;V – некоторая невырожденная матрица размера
.Характеристическое уравнение жорданова блока размера
независимо от количества единиц в верхней диагонали записывается в виде произведения 
одинаковых сомножителей и, следовательно, имеет только кратных корней: 
.Если выразить матрицу V в форме вектора с компонентами в виде векторов-столбцов
, то из равенства AV=VJ для каждого жорданового блока следует соотношение 
.Здесь
в зависимости от структуры верхней диагонали, в которой может быть либо ноль, либо единица. Если жордановы блоки имеют размер 
, то мы имеем случай симметричной матрицы или матрицы с различными собственными значениями.При поиске решений систем линейных уравнений с несимметричными матрицами, последние стремятся теми или иными приемами свести к выражению с симметричными матрицами.
Один из возможных подходов к решению несимметричных линейных систем состоит в замене исходной системы эквивалентной системой:
.Недостаток этого подхода состоит в том, что мера обусловленности произведения матрицы A на свою транспонированную, оцениваемая отношением
, оказывается больше, чем у матрицы A.Под мерой обусловленности понимают отношение наибольшего собственного значения матрицы к наименьшему. Это отношение влияет на скорость сходимости итерационных процедур при решении уравнений.
Итак, основными алгебраическими системами уравнений можно считать неоднородные системы уравнений с симметричными матрицами коэффициентов.
Литература
1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов – 3-е изд. М: Высшая школа, 2009. – 840 с.
2. Самарcкий А.А. Задачи и упражнения по численным методам. Изд. 3 Изд-во: КомКнига, ЛКИ, 2006. – 208 с.
3. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. – 304 с.
4. Хеннер Е.К., Лапчик М.П., Рагулина М.И. Численные методы. Изд-во: «Академия/Academia», 2004. – 384c.
5. Чистяков С.В. Численные и качественные методы прикладной математики. СПб: 2004. – 268 с.