Площади в геометрии (стр. 2 из 3)

Площадь прямоугольника

Теорема:

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S(рис. а). Докажем,

что S = ab.

Рис. а)

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b, как показано на (рис. б)

По свойству 3⁰ площадь этого квадрата равна

Рис. б)

a b

a a

b b

a b

С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с

площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S(свойство 1⁰ площадей) и двух квадратов с площадями a²и b²(свойство 3⁰площадей). По свойству 2⁰ имеем:

, или

Отсюда получаем: S = ab. Теорема доказана.

Площадь параллелограмма

Основание – одна из сторон параллелограмма

Высота параллелограмма – перпендикуляр, проведенный из любой точки

Противоположной стороны к прямой, содержащей основание.

Теорема

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD

за основание и проведем высоты BH и CK (см. рис.). Докажем, что S = AD

BH.

Докажем сначала, что площадь прямоугольника HBCK также равна S.

Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCD и треугольника ABH.

Но прямоугольные треугольники DCK и ABH равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AD), поэтому их площади равны.

Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольника HBCK также равны, т.е. площадь прямоугольника HBCK равна S. По теореме о площади прямоугольника S = BC

BH, а так как BC = AD, то S = AD

BH. Теорема доказана.

AHDK

Площадь треугольника

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство:

Пусть S – площадь треугольника ABC(см. рис.). Примем сторону AB за основание треугольника и проведем высоту CH. Докажем, что

CH.

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD так, как показано на рисунке. Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC– их общая сторона, AB = CD и AC = BD как противоположные стороны параллелограмма ABDC), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABDC, т.е.

CH. Теорема доказана.

AHB

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие 2

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Воспользуемся следствием 2 для доказательства теоремы об отношении

площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема

Ели угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Доказательство:

Страница 10

Пусть S и

– площади треугольников ABC и

, у которых

(см. рис.) Докажем, что

Наложим треугольник

на треугольник ABC так, чтобы вершина

совместилась с вершиной А, а стороны

наложились соответственно на лучи AB и AC. Треугольники ABC и A

C имеют общую высоту CH, поэтому

. Треугольники A

Cи A

также имеют общую высоту

, поэтому

. Перемножая полученные равенства, находим:

или

Теорема доказана.

Площадь трапеции

Докажем следующую формулу для вычисления площади трапеции:

Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, опущенного на неё из середины другой боковой стороны.

Доказательство. Пусть ABCD – данная трапеция (

– середина стороны

– перпендикуляр, опущенный из точки

на прямую

. (рис. 1)

Рис. 1

Проведём через точку K прямую, параллельную прямой АВ. Пусть М и Р – точки её пересечения с прямыми ВС и AD. Параллелограмм АВМР равновелик данной трапеции, так как пятиугольник АВСКР является для них общим, а треугольник СМК конгруэнтен треугольнику KPD, т.е. трапеция и параллелограмм составлены из одинаковых частей.

Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его основания АВ на высоту КН, утверждение доказано.

Замечание. Последний абзац решения можно (более формально) записать и так:

(по построению),

(по стороне и двум прилежащим углам), поэтому

следовательно,

Теорема Пифагора

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора.

Она является важнейшей теоремой геометрии.

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

Докажем, что

Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b. Площадь S этого квадрата равна

. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна

, и квадрата со стороной c, поэтому