Разбиение натурального ряда (стр. 2 из 3)

Гипотеза оказалась верна, при условии что обе последовательности

и заданы явными формулами

[(1+ )n/2]

=[(3+ )n/2]

Но Акулич не первый догадался представить последовательности

и в виде [ ] и [ ].

Эти же явные формулы получаются из формул Рэлея при x = 2/(1+

), поскольку при этом величина 1-x равна как раз 2/(3+ ), т.е.

Возникает вопрос об единственности разбиения множества N на две последовательности.

В статье Баабабова [2] доказывается теорема, обобщающая этот результат и утверждает, что таких разбиений натурального ряда существует бесконечно много. Приведем данную теорему и ее подробное доказательство.

Обозначим

Теорема.

Если

и - положительные иррациональные числа, связанные соотношением , то среди чисел вида [ ] и [ ] , где n , каждое натуральное число встречается ровно один раз.

Доказательство:

Поскольку

> 1, в последовательности никакое число не повторяется. Аналогично вследствие неравенства >1 строго возрастает и последовательность

Действительно, пусть [

] – k

Следовательно,

Докажем теперь, что каждое натуральное число встречается ровно один раз.

Предположим, что некоторое натуральное число k вошло в обе последовательности т е k =

, где m,n – натуральные числа. Тогда должны быть выполнены неравенства

k<

< k + 1, k< <k + 1,

т.е.

сложим эти неравенства, не забывая про условие

Получим

откуда k<m+n<k+1

Но такого для натуральных чисел не может быть. Значит, число k не могло войти в обе последовательности.

Теперь предположим, что k не вошло ни в одну из последовательностей. Тогда для некоторых натуральных чисел m и n должны выполняться неравенства

m < k <k+1< (m+1)

n < k <k+1< (n+1)

которые можно преобразовать к виду

складывая, получаем

откуда m+n<k и k+1<m+n+2

m+n<k и m+n>k-1

Такого для натуральных чисел тоже не может быть. Получаем противоречие, следовательно, теорема доказана.

В следующем параграфе рассмотрены упражнения о разбиениях натурального ряда, при решении которых используются результаты данного параграфа.

§3. Упражнения

Упражнение 1

Пусть последовательность задана формулой

.Найти .

1 … 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

49 50

Используя эту формулу, можно найти любое a

.

Упражнение 2.

Вычислить

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
[(1+ )n/2]	1	3	4	6	8	9	11	12	14	16	17	19	21	22	24	25	27	29
[(3+ )n/2]	2	5	7	10	13	15	18	20	23	26	28	31	34	36	39	41	44	47

Упражнение 3

Используя формулы

и

постройте последовательности, которые заполняют весь натуральный ряд без пропусков и перекрытий

, , …

…

, , …