Использование обобщений при обучении математике в средней школе (стр. 2 из 7)
5)
Короче это расширенное определение можно записать так:
.
Это высказывание будет истинным в силу закона логики:
.
Если обозначить через 
предикат, выражающий свойство четырехугольника «быть параллелограммом», то получим логическую функцию, заданную на множестве 
, составляющем объем родового понятия «четырехугольник». Каждый из признаков понятия «параллелограмм» можно также рассматривать как логическую функцию, заданную на том же множестве , так как каждым признаком задается свойство определенного подмножества множества .
Если обозначить эти логические функции через 
, 
, 
, 
, 
, то определение понятия «параллелограмм» можно записать в виде:
.
Тогда о произвольном, но фиксированном четырехугольнике
получаем высказывание: 
,которое истинно, если истинна хотя бы одна из составляющих его дизъюнкций. В этом случае и можно утверждать, что произвольный, но фиксированный четырехугольник принадлежит множеству, представляющему объем понятия «параллелограмм».
Все, что было сказано выше об объектах, можно повторить и об отношениях, используя уже двухместные, трехместные и прочие предикаты.
Расширенные теоремы-свойства понятий
До сих пор мы рассмотрели применение теорем, дающих достаточные условия существования соответственных понятий. Рассмотрим теперь теоремы, которые дают необходимые условия существования данного понятия.
Обозначим через
предикат «быть параллелограммом », через - множество, на котором определен этот предикат. Каждое необходимое свойство понятия «параллелограмм» можно рассматривать как логическую функцию, заданную на множестве .Если обозначить эти логические функции через
, то расширенную теорему о свойствах параллелограмма можно записать так: 
.Если произвольный, но фиксированный четырехугольник
принадлежит объему понятия «параллелограмм», то в силу закона логики:
мы можем быть уверены, что
обладает свойствами 
.Аналогичные расширенные определения и расширенные теоремы о свойствах можно поострить и для многих других понятий школьного курса математики (понятия конгруэнтности отрезков, углов, треугольников; параллельности прямых; понятия прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция; параллельность прямой и плоскости, плоскостей; понятие корня квадратного уравнения; возрастающей и убывающей функции и т. д.).
Роль расширенных определений и теорем в процессе обучения
В процессе обучения математике целесообразно как можно чаще применять такие логические конструкции изучаемого материала, как расширенные определения и теоремы.
Чтобы лучше понять расширенных определений и расширенных теорем – свойств в обучении, отметим следующее. В традиционной методике после определения понятия рассматривались обычно весьма случайно отобранные теоремы, среди которых наряду с теоремами-признаками выступали и теоремы-свойства; при этом и те и другие теоремы не представляли собой логически организованной системы. Поэтому, применяя те или иные теоремы к решению задач, лишь немногие учащиеся оказывались способными самостоятельно использовать рассмотренное понятие или относящуюся к нему теорему при решении новых задач или изучении новых теорем.
Конструируя в процессе обучения все более широкие определения некоторого понятия или все более широкие совокупности теорем-свойств, мы тем самым устанавливаем органическую связь между свойствами понятия, отраженными в его определении, и другими свойствами, присущими только этому понятию. Доказав, что данный конкретный объект принадлежит к объему данного понятия, учащиеся актуализируют вои знания об изученном понятии, расширяют объем этих знаний, а значит, и возможности их приложения. Поэтому в процессе изучения понятий, аксиом и теорем рекомендуется сопоставлять вместе с учащимися постоянно дополняющиеся «списки», представляющие расширенные определения важнейших математических понятий или теорем-свойств.
Помимо логической организации изучаемого материала в сознании школьников, отмеченная выше методика работы с понятиями и теоремами делает сам процесс изучения математической теории более организованным и более естественным. Если учитель следует этой методике, его ученики будут ожидать, что после введения и определения нового понятия будут изучаться те его свойства, которые наряду с определение дадут возможности обнаружить это понятие в новой ситуации, а также использовать те свойства этой ситуации, которые имеют место. Если установлено наличие в ней данного понятия. Тем самым изучение теоремы и определения представляются учащимся в единой, взаимосвязанной системе, а не как случайно собранные вместе утверждения.
Познакомимся с некоторыми способами обобщения, которые будем иллюстрировать утверждениями и задачами.
1. Обобщение по размерности. Известно следующее утверждение:
Если 
, то для любой точки 
существуют такие числа 
и 
, что
и 
.
Пользуясь обобщением по размерности, приходим к утверждению:
Если лежит в плоскости 
, то для любой точки найдутся такие числа , , 
, что
и 
.
2. Обобщение путем отбрасывания условий. Данный способ особенно эффективен при решении задач. В частности, он используется тогда, когда не удается решить какую-либо задачу. С этой целью мы отбрасываем какое-либо условие или заменяем его на более слабое, а потом решаем новую задачу:
Доказать, что при 
выполняется неравенство
.
Здесь может быть отброшено условие . Тогда, введя функцию 
при 
и используя производную, легко устанавливаем, что 
при .
3. Обобщение на основе рассмотрения частных случаев. Этот метод особенно эффективен в том случае, если желательно угадать ответ. Рассмотрим известный пример:
Найти 
, если 
.
Обращаемся к частным случаям:
