Использование обобщений при обучении математике в средней школе (стр. 6 из 7)

Зачастую при решении нестандартной задачи используется не один эвристический прием, а сразу несколько, причем, может быть, из разных групп. Часто при решении задач наряду используются эвристические приемы группы парадигмы – метод от противного и идентификация геометрических объектов в рамках различных конфигураций. Каждый из затронутых выше эвристических приемов позволяет реализовать определенный набор мыслительных операций (анализ, синтез, обобщение, аналогию и т.п.). Для полноценного умственного развития учащихся при обучении математике целесообразно предусмотреть использование максимального количества различных эвристик.

Урок обобщения и систематизации знаний

Уроки обобщения и систематизации знаний проводятся по окончанию изучения темы или раздела учебного материала. Основное их назначение заключается в усвоении связей и отношений между понятиями, теоремами, в формировании целостного представления у учащихся об изученном материале. Наиболее сложным в подготовке такого урока является организация повторения, выбор средств систематизации и обобщения знаний и умений школьников. Следует иметь в виду, что логика обобщающего повторения содержательнее логики первоначального изучения учебного материала. Она предполагает выделение связей между основным и второстепенным, между блоками главного, а также во второстепенном материале. Среди средств систематизации и обобщения знаний и умений школьников особое место занимают упражнения, выполнение которых основано на актуализации всего комплекса знаний и умений, подлежащих систематизации, упражнения, ориентированные на углубление и расширение знаний, на применение обобщений в различных конкретных ситуациях. К упражнениям такого вида относят упражнения на составление таблиц, схем, на классификацию понятий, на выявление отношений между понятиями, на составление «родословных» понятий и теорем.

Следует иметь в виду, что обобщающие уроки могут заключать не только пройденную тему, но и изучение исходного материала из разных разделов.

В уроке обобщения и систематизации знаний выделяют следующие структурные элементы:

1) сообщение темы, цели, задачи урока и мотивации учебной деятельности школьников;

2) воспроизведение и коррекция опорных знаний;

3) повторение и анализ основных фактов, событий, явлений;

4) повторение, обобщение и систематизация понятий, усвоение соответствующей системы знаний, ведущих идей и основных теорий.

Рассмотрим конкретный пример урока обобщения и систематизации знаний.

Урок на тему «Иррациональные уравнения» (10 класс)

Цель: обобщить и систематизировать способы решения иррациональных уравнений и умения применять их в различных ситуациях.

Основными методами решения иррациональных уравнений являются:

1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, т. е. замена уравнения

уравнением ;

2) метод введения новой переменной.

Однако зачастую иррациональные уравнения решаются с помощью рассуждений, основанных на анализе структуры уравнения, путем установления множества допустимых значений неизвестного, извлечения корня

-ной степени из степени с показателем , на основе теорем равносильности. Отметим и то, что иррациональные уравнения могут содержать один, два и больше корней, причем они могут быть одной степени или разных степеней. Проиллюстрируем сказанное конкретными примерами.

1. Решите уравнения:

а)

;

б)

;

в)

.

Исследование структуры уравнения а) показывает, что оно не имеет корней, так как

, и потому ; в случае б) имеем при допустимых значениях и . Анализ структуры уравнения в) показывает, что его решением является каждое значение , для которого одновременно и . Этому требованию удовлетворяет .

2. Решите уравнения:

а)

;

б)

.

Подкоренные выражения просты, поэтому целесообразно, прежде всего, выявить множество допустимых значений неизвестного. Легко установить, что область определения уравнения а) – пустое множество, а потому уравнение не имеет решений. В случае б) уравнение может иметь решение при

, т. е. при . Учитывая, что левая часть уравнения имеет смысл при , получаем, что уравнение имеет единственный корень: .

3. Решите уравнения:

а)

;

б)

.

Уравнения а) и б) можно записать соответственно в виде:

а)

;

б)

,

которые, в свою очередь, равносильны уравнениям:

а)

;

б)

.

Решим уравнение б), для чего воспользуемся методом интервалов:

1) при

уравнение равносильно уравнению , корнем которого является ;

2) если

, то исходное уравнение равносильно уравнению или , которое не имеет решений;

3) при

уравнение преобразуется в уравнение , или , откуда .

Часто решение иррациональных уравнений основывается на возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Рассмотрим, например, решение уравнения

. Запишем данное уравнение в виде и возведем обе его части в квадрат. Получим

,

, ,

.

Так как при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень возможно появление посторонних корней, то обязательна проверка найденных корней. Число

удовлетворяет исходному уравнению, а число нет.