Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей (стр. 2 из 3)

Упражнение №1.

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство

a³ +b³

a²b+b²a.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

a³ +b³ =

, a²b+b²a =

А так как последовательности (a², b²), (a, b) одномонотонны, то

А это значит, что a³ +b³

a²b+b²a.

Что и требовалось доказать.

Докажем это же неравенство, но другим способом.

Значит a³ +b³

a²b+b²a.

Что и требовалось доказать.

Мы не можем сказать какой из методов доказательства решения легче, так как в данном случае оба метода решения неравенства примерно одинаковые по сложности.

Упражнение №2.

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство.

а²+b².

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

а²+b² =

, ,

А так как последовательности (

), ( ) одномонотонны, то

.

Что и требовалось доказать.

2.3 Случай с двумя последовательностями из трех переменных

Рассмотрим последовательность (а₁,а₂,а₃) и (b ₁, b₂,b₃), и запишем в виде таблицы

Если последовательность (а₁,а₂,а₃)

(b₁, b₂ ,b₃) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а₁,а₂,а₃ находиться над наибольшим из чисел b ₁,b₂,b₃, а второе по величине а₁,а₂,а₃ находиться над вторым по величине из чисел b ₁,b₂,b₃ , и где наименьшее из чисел а₁,а₂,а₃ находиться над наименьшим из чисел b ₁,b₂,b₃ то последовательность одномонотонная.

Если

=a₁b₁, и =а₁b₁+а₂b₂, то =а₁b₁+а₂b₂+a₃b₃

Для доказательства следующих теорем нам понадобится одно свойство одномонотонных последовательностей, которое оформим в виде леммы.

Лемма. Если (а₁, а₂, …а_n) и (b ₁, b₂,…b_n) одномонотонные последовательности, то их произведение не изменится при перестановки местами столбцов.

Доказательство.

Рассмотрим последовательность с двумя переменными из двух переменных.

=а₁b₁+а₂b₂.

Заметим, что а₁b₁+а₂b₂ = а₂b₂+ а₁b₁ по переместительному свойству сложения. Значит, в самой таблице мы тоже можем переставлять столбцы переменных, при этом сохраняется одномонотонность последовательности. То есть

=

Теперь рассмотрим последовательность с двумя последовательностями из трех переменных.

=а₁b₁+а₂b₂+a₃b₃.

Кроме того, что мы можем поменять переменные по переместительному свойству, а по сочетательному свойству мы можем объединять некоторые слагаемые, сохраняя одномонотонность последовательности. То есть

а₁b₁+а₂b₂+a₃b₃= (a₃b₃+а₂b₂)+ а₁b₁ =

Лемма доказана

Теорема 2. Пусть (а₁ а₂ а₃), (b₁ b₂ b₃) – одномонотонные последовательности и (

)(здесь и в дальнейшем) любая перестановка чисел b₁ b₂ b₃. Тогда

.

Доказательство.

Действительно, если последовательность

отличается от (b₁ b₂ b₃) то найдется пара чисел k, l (1 k<l 3) такая, что последовательности (a_k, a_l) и (b_k, b_l) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть

, так как .

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана

Упражнения

Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 2

Упражнение №1.

Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла.

Докажите неравенство.

a³+b³+c³

a²b+b²c+c²a.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

a³+b³+c³=

, a²b+b²c+c²a =

А так как последовательности (a², b², c²), (a, b , c) одномонотонны, то

.

А это значит, что a³+b³+c³

a²b+b²c+c²a.

Что и требовалось доказать.

Упражнение №2.

Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла.

Докажите неравенство.

.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

и (a, b, c) и (

) одномонотонные последовательности, то

,

.

Складывая эти неравенства, мы получаем

.

Отделим дроби с одинаковым знаменателем в правой части

.

Вычислив, получаем

.

А это значит, что

Что и требовалось доказать

2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных

Рассмотрим одномонотонные последовательность (а₁, а₂, …а_n) и (b ₁, b₂,…b_n)

Если

=a₁b₁, и =а₁b₁+а₂b₂, то =а₁b₁+а₂b₂…a_nb_n