Объем фигур вращения правильных многогранников (стр. 2 из 3)
;Для вычисления высоты конуса (Н) рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором гипотенуза ВС – ребро тетраэдра – по условию равна а. Катет АВ – это радиус окружности описанной около равностороннего треугольника со стороной а, следовательно,
АВ
Тогда по теореме Пифагора
; 
.Ответ:
Задача 1.3.
Вычислить объем тела, полученного вращением тетраэдра
относительно оси, проходящей через среднюю линию грани тетраэдра, если ребро тетраэдра равно а.
 |
Решение:
В результате вращения образуется тело вращения, состоящее из двух усеченных конусов с общим основанием. Причем, в каждом из них «вырезается» конус при меньшем основании (см. рис.). Таким образом,
;  |
Найдем R1 из треугольника АВС, где АС – средняя линия грани тетраэдра (АС =
по свойству средней линии); АВ = СВ = 
. Тогда по теореме Пифагора 
; 
;Для нахождения R2 через вершину N основания тетраэдра проведем прямую ND параллельную СК.
. Четырехугольник NDCK – параллелограмм (так как стороны попарно параллельны), следовательно, треугольник DNA равносторонний со стороной . Тогда 
; 
. 
Таким образом, окончательно получаем:
Ответ:
ГЕКСАЭДР (Куб)
Задача 2.1.
Вычислить объем тела, полученного вращением куба относительно оси, проходящей через противоположные вершины, если ребро куба равно а.
Решение:
В результате вращения образуется тело, состоящее из двух конусов и однополостного гиперболоида (см. рис.).
Так как RВ = RН = R, то
.Таким образом,
.  |
1). Для нахождения объема конуса рассмотрим правильную треугольную пирамиду.
Так как основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной
, то 
H1 находим из прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза равна а, а один из катетов равен R.
Тогда
.Таким образом
2). Найдем объем однополостного гиперболоида вращения по формуле Симпсона.
Так как RВ = RН = R, то
Перпендикулярным сечением данного тела вращения является правильный шестиугольник, сторона которого равна половине диагонали грани куба, следовательно, равна
.Таким образом, RСР является радиусом окружности описанной около правильный шестиугольника со стороной
,значит
.Откуда
Так как часть оси вращения, заключенная внутри тела вращения (H) – суть диагональ куба, следовательно,
.Тогда
Значит,
;Ответ:
Задача 2.2.
Вычислить объем тела, полученного вращением куба относительно оси, проходящей через середины его противоположных ребер, если ребро куба равно а.
Решение:
 |
В результате вращения образуется тело, состоящее из двух гиперболоидов вращения с общим основанием (см. рис.).
 |
Таким образом,
, гдеRВ равно половине ребра куба, т.е. равно
;RН – радиус окружности, описанной около прямоугольника со сторонами
, следовательно, равен .H – высота тела вращения – равна половине диагонали грани куба, т.е. равна
.RСР можно найти как медиану в прямоугольном треугольнике с катетами
и RВ, гипотенуза которого равна RН (смотри рисунок).Таким образом, получаем,
.Окончательно получаем:
.Ответ:
Задача 2.3.
Вычислить объем тела, полученного вращением куба относительно оси, проходящей через центры его противоположных граней, если ребро куба равно а.
Решение:
Фигурой вращения является цилиндр, основанием которого служит окружность, описанная около квадрата (грани куба). Высота цилиндра (H) равна ребру куба и равна а.
 |
.Так как в основании цилиндра находится окружность, описанная около квадрата, значит
; 
; 
Ответ:
Октаэдр
Задача 3.1.
Вычислить объем тела, полученного вращением октаэдра относительно оси, проходящей через противоположные вершины, если ребро октаэдра равно а.
Решение:
В данном случае прямые (образующие поверхности) пересекают ось вращения, значит, в результате вращения получаются конические поверхности с общим основанием.
 |
; 
;Так как R – радиус окружности, описанной около квадрата со стороной а, то
; 
; 
;