Производная и ее применение для решения прикладных задач (стр. 3 из 7)
Решение
При х=2 и
имеем 
Абсолютная погрешность
Относительная погрешность
то есть относительная погрешность будет около 4%.При х=2 и
имеем 
Абсолютная погрешность
а относительная погрешность 
то есть относительная погрешность будет уже около 0,4%.Пример 2
Пользуясь понятием дифференциала функции вычислите приближенно изменение, претерпеваемое функцией
при изменении х от значения 5 к значению 5,01.Решение.
В данном случае будем считать х=5, а
. Изменение функции 
3.5 Нахождение величины угла между прямыми и кривыми.
Углом между графиками функций
и 
в точке их пересечения называется угол между касательными к их графикам в этой точке (рис.).Пример 1.
Найти угол между графиками функций
и 
в точке их пересечения (с положительной абсциссой).
Решение.
Абсциссы точек пересечения данных графиков удовлетворяют уравнению
И тем самым следующей системе:
Отсюда находим, что графики функций пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны 0 и 2. Найдем тангенсы углов наклона касательных к обоим графикам функций в точке с абсциссой, равной 2. Имеем
Отсюда
и 
Так как 
, то уравнения касательных к графикам функций и в точке (2;2) соответственно имеют вид 
и 
т.е.
и 
Следовательно величина угла
между касательными удовлетворяют уравнению 
и тем самым графики функций
и 
в точке с абсциссой х=2 пересекаются под углом, равным 
3.6 Разложение на множители и упрощение выражений.
Пример 1.
Разложить на множители выражение
.Решение:
Считая х переменной величиной, рассмотрим функцию
. Имеем 
.Так как
,то отсюда заключаем, что
.Получаем
, где С не зависит от х, но зависит от y и z.Так как последнее равенство верно при любом х, то, полагая, например, в нем х=0 и учитывая, что
, найдем 
.Таким образом,
Итак,
= 
.Пример 2.
Упростить выражение
Решение
Считая х переменной величиной, рассмотрим функцию
Тогда, дифференцируя ее, имеем
.Отсюда находим, что
, где С не зависит от х, но может зависетьот y и z. Полагая, например, х=0, получаем
.Поскольку
, то С=0.Следовательно,
.3.7 Вычисление суммы
Пример 1.
Найти сумму
Решение:
Пусть
.Так как
, 
, то 
.Поскольку
есть сумма первых 
членов геометрической прогрессии со знаменателем х, 
, то 
.Так как
, то 
3.8 Сравнение чисел и доказательство неравенств
При доказательстве неравенств или для сравнения двух чисел полезно перейти к общему функциональному неравенству.
Пример 1.
Сравнить
и 
.Решение.
Рассмотрим функцию
.Так как
, 
,То функция
возрастает на интервале 
.Таким образом,
И, следовательно,
< .Пример 2.
Какое из чисел больше:
или 
?Решение.
Рассмотрим функцию
Так как 
и 
при 
то функция 
возрастает на множестве всех действительных чисел. Поэтому 
, т.е. 
Пример 3.
Докажите, что
при 
.